《数列的概念与简单表示法》课件(1)

1数列的概念及表示方法264个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒依次类推……3456781567812334264个格子你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64格子2213263220212??184467440737095516154三角形数1,3,6,10,.…..正方形数1,4,9,16,……传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：提问：这些数有什么规律吗？5上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：633222221，，，，，，，，4131211123453，，，，1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：高一（2）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：1111，，，，，，，1111无穷多个1排列成的一列数：三角形数：1，3，6，10，···正方形数：1，4，9，16，···6633222221，，，，354321，，，，1111，，，，，，，1111共同特点：1.都是一列数；2.都有一定的顺序12345，41，31，211，1，3，6，10，···1，4，9，16，···7定义：按一定顺序排列着的一列数称为问1：数列，2，改为13，…，53,2，，…，53331请问：是不是同一数列？问2:数列4改为：-1，1，-1，1……1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？(数列具有有序性)812345，，，，1111354321，，，，，，，，4131211633222221，，，，1111，，，数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，······，第n项，······数列的分类(1)按项数分：项数有限的数列叫有穷数列项数无限的数列叫无穷数列(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。有穷数列无穷数列有穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递减数列摆动数列常数列912345数列的一般形式可以写成：简记为,其中，，，，，naaaa321是数nana第1项第2项第3项第n项的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，1111-12,,,,,22,12n632,,,,2131n1,,,,23n,,,,3511-n)1-(,,,,,11,,,1,1a2a3anana列的第n项。02121112n)64,(*nNn}{n1{}n)35,(*nNn那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如果数列na12nnan1nannan)1(-=1na)(*Nn)(*Nn)(*Nnna例1根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：10（1）（2）1nnannann1解：（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为na.65,54,43,32,21（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，那么数列的前5项为na－1，2，－3，4，－5.11例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：12nan12（2）;515,414,313,2122222解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：121112nnnnnan13（3）.541,431,321,211解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：11nnann14思考题：1、写出下列数列的一个通项公式：（1）1，－1，1，－1；（2）2，0，2，0；（3）9，99，999，9999；（4）0.9，0.99，0.999，0.9999。答案：（1）（2）（3）（4）nnnnnnnnaaaa1011101111115数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？基础知识梳理【思考·提示】不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝－1(n为奇数)1(n为偶数)，有的数列没有通项公式．2732,2,4nanbcn例题、已知数列，，...的通项公式为a求这个数列的第四项和第五项。511172329...,55变式：已知数列，，，，，则是它的第几项17122.544.534567a1a2a3a4a512345xynan通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式数列是一种特殊函数！定义域是N*(或它的有限子集)18（1）数列{an}中是一列数，而集合中的元素不一定是数；（2）数列{an}中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序；（3）数列{an}中的数可以重复，而集合中的元素不能重复。思考：数列与集合的概念有何区别些简单性质。列，掌握数列的一能从函数的观点研究数；公式求出数列的前几项含义，能根据递推理解数列的递推公式的学习目标：.2.1复习回顾1．按照一定顺序排列的一列数称为，数列中的每一个数叫做这个数列的.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第项．2．数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为．3．项数有限的数列叫做数列，项数无限的数列叫做数列．4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的公式．n{an}通项数列项首有穷无穷三基能力强化1．数列13，14，15，…，1n，…中第10项是()A.110B.18C.111D.112答案：D三基能力强化A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列答案：A2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是()3．(教材习题改编)下列关于星星的图案个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．三基能力强化答案：an＝12n(n＋1)图象法列举法列表法解析法数列的简单表示法:、、、.O123456710987654321nan数列用图象表示：哇！图象也可以是一些点呀！4，5，6，7，8，9，10.（4）1O1234567n214181na数列（2）用图象表示1，，，，，···，···.（2）n121314151271234567891024681012141618200的图象)1(nnan是些孤立点28图象做出常数数列：,4,4,4,412345123450图象，，，，做出摆动数列：11-11--1问题下面给出了一些数列的图象，归纳总结数列单调性的定义：an＝2n－1an＝1nan＝(-1)n问题探究(一)数列的单调性一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．因此，要证明数列{an}是单调递增数列，只需证明an＋1－an；要证明数列{an}是单调递减数列，只需证明an＋1－an.an＋1＞anan＋1＜an大于0小于031求数列中的数值最大的项.2na51nn2y=x5x+132求数列中的数值最大的项.2na293nn解:2*91052(),48923,4nannN又29313.nnn22时a取最大值13.数列-2n中数值最大的项为a求数列中的数值最大的项.2na293nn讲授新课观察以下数列，并写出其通项公式：12nan)1(2nannna3思考：除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？观察以下数列，并写出其通项公式：,11a讲授新课观察以下数列，并写出其通项公式：,11a讲授新课,221312aa观察以下数列，并写出其通项公式：,11a讲授新课,,2523aa,221312aa观察以下数列，并写出其通项公式：,11a21nnaa讲授新课,,2523aa,221312aa观察以下数列，并写出其通项公式：,11a,01a21nnaa21nnaa讲授新课,,2523aa,221312aa观察以下数列，并写出其通项公式：,11a,01a,31a21nnaa21nnaa13nnaa讲授新课,,2523aa,221312aa定义已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.41问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即an=2an-1+1（n∈N，n1），（※）你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。42递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．练习运用递推公式确定一个数列的通项：练习运用递推公式确定一个数列的通项：练习运用递推公式确定一个数列的通项：46例1设数列满足写出这个数列的前五项。na例2已知21a，nnaa21写出前5项，并猜想na．法一：21a22222a323222a，观察可得nna2法二：由nnaa21∴12nnaa即21nnaa∴112322112nnnnnnnaaaaaaaa∴nnnaa2211问题探究二数列的周期性问题已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2012项是多少？解a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6，问题探究（二）数列的周期性问题探究(三)由简单的递推公式求通项公式问题1对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立．试根据这一结论，求解下列问题．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，试求通项an.解an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n－1)＋1＝2n－1.(n－1)个2问题探究(三)由简单的递推公式求通项公式问题2若数列{an}中各项均不为零，则有：a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝an成立．试根据这一结论求解下列问题．已知数列{an}满足：a1＝1，anan－1＝n－1n(n≥2)，试求an.解an＝a1·a2a1·a3a2·…·an－1an－2·anan－1＝1·12·23·…·n－2n－1·n－1n＝1n.理论迁移例1在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.小结已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n的值代入即可．例2已知an＝9n(n＋1)10n(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如