《圆周角与圆心角的关系》教学设计详案

《圆周角与圆心角的关系》教学设计秭归县郭家坝中学颜昭英教学目标：（一）教学知识点（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征；（2）理解圆周角与圆心角的关系，并能熟练地运用它们进行论证和计算，，有机渗透的“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。（二）能力训练要求通过圆周角概念的形成，渗透数学建模的思想，使学生经历数学建模的过程，形成建模的方法；引导学生主动地通过：观察、实验、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力、实践能力与创新精神，从而提高数学素养；通过圆周角定理的证明，有机渗透的“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想、使学生了解分类、转化、归纳等数学思想方法。（三）情感态度与价值观运用实例分析，使学生认识到数学与实际生活有着紧密的联系，学会用数学的眼光看待生活中的实际问题。在证明圆周角定理的过程中，通过小组讨论、展示各自所画图形这一环节，在合作探究中培养学生的协作意识，体现交流的价值；通过“观察——测量——证明”这三个环节的活动，让学生意识到，观察测量发现的规律只是建立在统计的基础上，而定理的形成须严谨的数理论证。教学重点：圆周角的概念和圆周角定理经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，了解“圆周角与圆心角的关系”教学难点：了解圆周角的分类、用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。教学方法：以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。学法在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。教具圆规、直尺、投影仪、课件教学过程：一、视频分析，导入新课师：大家对足球比赛一定不陌生，现在我们就一起来看一段足球射门的片段。播放“小角度射门”的视频片段，引导学生注意解说员强调的“小角度射门”。师：这是一个精彩的进球，以至于解说员最后特别强调“小角度射门得手”，大家知道他为什么要强调“小角度”吗？学生讨论，给出解释：射门的角度越小，进球的难度就越大。师：可见，数学知识能够解释生活中的很多现象，也能解决生活中的很多问题。比如说，人眼看物体有个特点，“远小近大”，通过物理知识的学习，大家也一定知道，这是因为同一个物体离人眼越远，它对人眼所成的视角越小，离人眼越近，对人眼所成的视角越大。现在我们尝试利用角的知识来分析一下，歌剧院中座椅摆放的问题。二、图片展示，引入圆周角的概念（一）、展示歌剧院的图片师：首先让我们欣赏几张著名歌剧院的室内图片，请同学们注意观察一下，它的座椅摆放有什么特点。图片展示，引导学生观察大厅内座椅摆放的特点。（二）、数学建模，引入圆周角的定义师：这些图片中的座位排列有什么特点？学生观察，发现其座椅不是直线摆放，而是呈弧形摆放的。此时，教师再次引导学生观察“国家大剧院”的图片，引导学生观察其特点。师：嗯，不错，特别是这张图片，其座椅摆放的弧线几乎与舞台形成了一个圆，为什么要设计成这样呢？在叙述的同时，利用课件演示某排座椅与舞台的示意图，进行数学模型的建立。学生讨论分析，给出各自的理由。生：可能是为了保证同排的观众以相同的视角观看舞台上的表演。师：视角？究竟是指哪个角呢？让我们把这个实物图先抽象为一个数学模型，用点表示某们观众，同学们能不能在这个示意图中画出这位观众的视角呢？OGABCFE根据学生的回答完成圆周角的建模过程，并引导学生观察这个角的特点。师：这个角与圆有了位置关系，前面我们学习过的圆心角也与圆有位置关系，大家对比这个角与圆心角，能告诉我这个角与圆的位置关系吗？出示圆心角与圆周角的对比图，引导学生观察分析，当学生给出合理的结论时，给予充分的肯定，同时鼓励学生更加全面的观察圆周角的特点，抓住圆周角这一概念的本质特征。生：这个角的顶点在圆上（圆周上）！生：两条边都与圆相交。师：那同学们能不能仿照圆心角的定义给也个角也下一个定义吗？OGABCFE板书：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角。三、巩固新知课件出示顶点在不同位置的情形，让学生判断图中的角是否为圆周角，说明理由。四、探究圆周角定理师：刚才那位同学说，座椅摆放成弧形，是为了尽可能保证同排观众看舞台的视角相同。那么，图中这些角的大小真的相同吗？为什么？相信完成接下来的研究之后，大家就能有个明确的答案了。（一）分析归纳同弧所对圆周角与圆心角的位置关系1、画一画（请画出弧AB所对的圆周角和圆心角。）学生作图并观察同弧所对圆心角与圆周角的位置关系。（同学代表在黑板上画图）特别说明：若学生不能准确地归纳出圆周角和圆心角的三种位置关系，可采用课件动态演示的方法，在教师的启发下达成这一教学目标。（二）探究圆周角定理1、看一看师：三种位置关系都已经找出来了，能观察出同弧所对圆周角与圆心角的大小关系吗？学生观察讨论。生：同弧所对的圆心角比圆周角大！（出现这样的结论，教师应及时引导学生明确，大小的比较只是定性的描述，并不能准确反映二者之间的数量关系）生：同弧所对圆心角好像是圆周角的二倍！2、量一量（如果学生直接给出这样的数量关系，则应该引导学生明确，人的感官并不精确，要得出准确的数量关系，可以通过科学测量、数理论证的方式进行）师：仅仅通过肉眼的观察不能发现二者间的数量关系，那能不能通过测量，用测量的数据来研究呢？指导学生用量角器进行测量，得出数据，并对数据进行分析处理，发现二者的数量关系近似于1：2.（在这个环节，教师应注重引导学生对测量误差的处理，同时强调作图的规范性）板书：“猜想：一条弧所对的圆周角是圆心角的_一半____。?”3、证一证师：通过测量发现的数量关系是否成立呢，现在让我们来证明一下。同弧所对的圆周角与圆心角有三种位置关系，该如何证明呢？生：按三种情况分类证明。师：三种情况中，哪一种最特殊，为什么？生：圆心在圆周角的边上是最特殊的，因为这个时候两个角有一边在同一直线上。师：既然要分类证明，先证明哪种情况好，为什么？生：先证明最特殊的那种情况，因为这种情况的图形最简单。师：很好，当解决一个问题有困难时，我们可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题。即从特殊到一般，这是解决问题的一种非常有效的方法学生在草稿上写出证明过程，教师请个别同学回答思路，使学生弄清证明过程。师：圆心在角内和角外的情况相对复杂一些，能不能作辅助线把这两种情况也转化为第一种情况呢？学生讨论，并给出各自的方案，简述证明过程。师：很好，把一般性的情形转化为特殊情形可以有效分解难题，简化问题。这是一种很重要的思维方法。至此，我们最终证明了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，这一结论也叫“圆周角定理”。补充板书：“圆周角定理”四、课堂练习练习1、如图，在⊙O中，∠BOC＝50°求∠BAC的大小练习2、如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°⌒，求∠BOD(弧BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。OBCA练习3：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.分析:∠AOB和∠ACB都对着弧AB,∠BOC和∠BAC都对着弧BC,因此,根据圆周角定理可得出它们之间的关系证明：∠ACB=1/2∠AOB∠BAC=1/2∠BOC∠AOB=2∠BOC==∠ACB=2∠BAC练习4：已知OA＝OB＝OC，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.OABCDACOB五、课堂小结1、这节课你学到了哪些知识？2、你收获了哪些数学思想与方法？3、还存在哪些困惑？六、拓展延伸1、你现在知道歌剧院内同排观众的视角是否相等了吗？为什么？OABC