大学课件 高等数学 4-3(不定积分的分部积分法)

问题?dxxex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(xuu和)(xvv具有连续导数,,vuvuuv,vuuvvu,dxvuuvdxvu.duvuvudv分部积分公式一、基本内容例1求积分.cosxdxx解（一）令,cosxudvdxxdx221xdxxcosxdxxxxsin2cos222显然，选择不当，积分更难进行.vu,解（二）令,xudvxdxdxsincosxdxxcosxxdsinxdxxxsinsin.cossinCxxx例2求积分.2dxexx解,2xu,dvdedxexxdxexx2dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx（再次使用分部积分法）,xudvdxex总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)u例3求积分.arctanxdxx解令,arctanxudvxdxdx22xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx222112arctan2dxxxx)111(21arctan222.)arctan(21arctan22Cxxxx例4求积分.ln3xdxx解,lnxu,443dvxddxxxdxxln3dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u例5求积分.)sin(lndxx解dxx)sin(ln)][sin(ln)sin(lnxxdxxdxxxxxx1)cos(ln)sin(ln)][cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxxdxxxxx)sin(ln)]cos(ln)[sin(lndxx)sin(ln.)]cos(ln)[sin(ln2Cxxx例6求积分.sinxdxex解xdxexsinxxdesin)(sinsinxdexexxxdxexexxcossinxxxdexecossin)coscos(sinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sinxdxexsin.)cos(sin2Cxxex注意循环形式例7求积分.1arctan2dxxxx解,1122xxxdxxxx21arctan21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxxdxxxxx222111arctan1dxxxx2211arctan1令txtandxx211tdtt22sectan11tdtsecCtt)tanln(secCxx)1ln(2dxxxx21arctanxxarctan12.)1ln(2Cxx例8已知)(xf的一个原函数是2xe,求dxxfx)(.解dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2Cedxxfx),()(xfdxxf两边同时对求导,得x,2)(2xxexfdxxfx)(dxxfxxf)()(222xex.2Cex合理选择，正确使用分部积分公式vu,dxvuuvdxvu二、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.u例xdxexcos第一次时若选xucos1xdxexcosdxxexexxsincos第二次时仍应选xusin2