大学课件 高等数学 4-习题课

积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分一、主要内容1、原函数如果在区间I内，可导函数)(xF的导函数为)(xf，即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf或dxxf)(在区间I内原函数.定义原函数存在定理如果函数)(xf在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.即：连续函数一定有原函数．2、不定积分(1)定义在区间I内，函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(．CxFdxxf)()(函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.dxxgxf)]()([10dxxgdxxf)()((2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.dxxkf)(20dxxfk)(（k是常数，)0k(3)不定积分的性质)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(CxFxdF)()(3、基本积分表kCkxkdx()1(是常数))1(1)2(1CxdxxCxxdxln)3(dxx211)4(Carctgxdxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(Cxsinxdxsin)7(Cxcosxtgxdxsec)10(Cxsecxctgxdxcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexxdx2cos)8(xdx2secCtgxxdx2sin)9(xdx2cscCctgxdxax)13(Caaxlnshxdx)14(Cchxchxdx)15(CshxCxtgxdxcosln)16(Cxctgxdxsinln)17(Ctgxxxdx)ln(secsec)18(Cctgxxxdx)ln(csccsc)19(Caxarctgadxxa11)20(22Cxaxaadxxaln211)22(22Caxdxxaarcsin1)23(22Caxxdxax)ln(1)24(2222Caxaxadxaxln211)21(225、第一类换元法4、直接积分法定理1设)(uf具有原函数，)(xu可导，则有换元公式dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf6、第二类换元法定理设)(tx是单调的、可导的函数，并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，则有换元公式)()()]([)(xtdtttfdxxf其中)(x是)(tx的反函数。第二类换元公式常用代换:.,)(.1Rbatx.sin,)(.222taxxaxf令如三角函数代换.,)(.322ashtxxaxf令如双曲函数代换.1.4tx令倒置代换7、分部积分法分部积分公式dxvuuvdxvuduvuvudv8.选择u的有效方法:LIATE选择法L----对数函数；I----反三角函数；A----代数函数；T----三角函数；E----指数函数；那个在前那个选作u.9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.真分式化为部分分式之和的待定系数法四种类型分式的不定积分;ln.1CaxAaxAdx;))(1()(.21CaxnAaxAdxnn;arctanln2.342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMpdxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(.42222此两积分都可积,后者有递推公式令2tanxu212sinuux2211cosuuxuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12（2）三角函数有理式的积分定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为)cos,(sinxxR（3）简单无理函数的积分讨论类型：),(nbaxxR),(necxbaxxR解决方法：作代换去掉根号．;necxbaxt令;nbaxt令二、典型例题例1dxxx1)23()23(2原式解.4932dxxxxx求1)23()23(23ln12xxd123ln12tdtdttt)1111(23ln21Ctt11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxxtx)23(令例2解.cos1)sin1(dxxxex求dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式dxxexexx)2tan2cos21(2]2tan)2(tan[(xxdexxde)2tan(xedx.2tanCxex例3解.15)1ln(22dxxxx求]5)1[ln(2xx,112x]5)1[ln(5)1ln(22xxdxx原式.]5)1[ln(32232Cxx)1221(1122xxxx例4解.1122dxxxx求,1tx令dttttt)1(1)1(111222原式dttt21122212)1(11ttddttCtt21arcsin.1arcsin12Cxxx(倒代换)例5解.1632xxxeeedx求,6tex令,ln6tx,6dttdxdttttt61123原式dtttt)1)(1(622211)1)(1(6tDCttBtAttt设)1()()1()1)(1(622ttDCttBtttA解得.3,3,3,6DCBAdttttt)133136(2原式Cttttarctan3)1ln(23)1ln(3ln62.arctan3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx例6解.)1ln(arctan2dxxxx求dxxx)1ln(2)1()1ln(2122xdx.21)1ln()1(21222Cxxx]21)1ln()1(`21[arctan222xxxxd原式xxxxarctan])1ln()1[(`21222dxxxx]1)1[ln(21222例7解.)2(10xxdx求)2(10109xxdxx原式)2()(101101010xxxdCxx)]2ln([ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx.2)1ln(2]3)1ln()1[(`arctan212222Cxxxxxxx例8解.)1()1(342xxdx求.)1()11()1()1(234342xxxxx,11xxt令,)1(22dxxdt则有原式234)1()11(xxxdxdtt3421Ct3123.11233Cxx例9解.cos1sindxxxx求dxxxxx2cos22cos2sin22原式dxxdxxx2tan2cos22dxxdxxxx2tan2tan2tan.2tanCxx例10解dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式.])()()()()([32dxxfxfxfxfxf求dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22])()([)()(xfxfdxfxf.])()([212Cxfxf例11解.},1max{dxx求},,1max{)(xxf设,1,11,11,)(xxxxxxf则,),()(上连续在xf).(xF则必存在原函数须处处连续，有又)(xF.1,2111,1,21)(32212xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx,21112CC即)(lim)21(lim21321CxCxxx,12123CC即.1,12111,211,21},1max{22xCxxCxxCxdxx故.1,2132CCCC＋可得,1CC联立并令一、选择题：1、设)(,)(21xFxF是区间I内连续函数)(xf的两个不同的原函数，且0)(xf,则在区间I内必有（）（A）CxFxF)()(21；（B）CxFxF)()(21；（C）)()(21xCFxF；（D）CxFxF)()(21.2、若,)()('xfxF则)(xdF=（）（A）)(xf；（B）)(xF；（C）Cxf)(；（D）CxF)(.测验题3、)(xf在某区间内具备了条件（）就可保证它的原函数一定存在（A）有极限存在；（B）连续；（B）有界；（D）有有限个间断点4、下列结论正确的是（）（A）初等函数必存在原函数；（B）每个不定积分都可以表示为初等函数；（C）初等函数的原函数必定是初等函数；（D）CBA,,都不对.5、函数2)()(xxxf的一个原函数)(xF()（A）334x;（B）234xx;（C))(3222xxx;（D）)(322xxx.6、已知一个函数的导数为xy2'，21yx时且,这个函数是（）（A）;2Cxy（B）;12xy（C）Cxy22;（D）.1xy7、下列积分能用初等函数表出的是（）（A）dxex2；（B）31xdx；（C）dxxln1；（D）dxxxln.8、,)()(CxFdxxf且,batx则dttf)(（）（A）CxF)(；（B）CtF)(;（C）CbatFa)(1;（D）CbatF)(.9、dxxx2ln（）（A）Cxxx1ln1;（B）Cxxx1ln1;（C）Cxxx1ln1；（D）Cxxx1ln1.10、10)14(xdx（）（A）Cx9)14(191；（B）Cx9)14(1361；（C）Cx9)14(1361；（D）Cx11)14(1361.二、求下列不定积分：1、dxxx1cos12;2、522xxdx;3、dxxxx2215)1ln(;4、dxxx222)1(;5、211xdx;6、dxxxx1122;7、)1(2xxeedx;8、xdxxarccos2;9、234811xxdxx;10、dxxx32)1(arccos.三、设0,)32(0,)1ln()(22xexxxxxxfx，求dxxf)(.四、设xbxaefxcossin)(',(ba,