第三章  线性系统的时域分析4

第三章线性系统的时域分析基本要求（1）熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。（2）了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。（3）正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。在第二章中已经讲过，分析控制系统的第一步是推导系统的数学模型。一旦获得了系统的数学模型，就可以采用各种不同的分析方法分析控制系统的性能。）频域分析（）根轨迹分析（时域分析32)1(一般系统分析有三种方法本章介绍控制系统的是域分析的一般方法§3-1时域分析基础一旦建立起合理的、便于分析的控制系统数学模型，就可以运用适当的方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算。本章我们主要给大家介绍时域分析方法。一、时域分析的特点时域分析的法是跟据系统的微分方程，以拉普拉斯变换为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后依据响应的曲线或表达式来分析系统的“稳、快、准”并找出它们与系统结构间的关系。时域分析是一种直接分析法，易于被人们接受；此外，也是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响应的全部信息。二、典型初始状态、典型外作用一个系统的时间响应y(t)，不仅取决于该系统本身的结构、参数，而且还与系统的初始状态以及加在该系统上的外作用有关1、典型初始状态前面我们已经介绍过自动控制原理书中用到微分方程均为增量方程，故控制系统的初始状态均为零状态0)0()0()0(yyy上式表明，在外作用加于系统的瞬间（t=0）之前，系统无论是相对静止还是绝对静止状态被控量以及各阶导数相对于平衡工作点的增量为零2、典型外作用典型外作用的选择应该是众多而复杂的实际外作用的一种近似和抽象。它的选择不仅应使数学运算简单，而且还应便于用实验来验证。理论工作者相信它，是因为它是一种实际情况的分解和近似；实际工作者相信它，是因为实验证明它确实是一种有效的手段。常用的典型外作用信号又4（5）种。另外，在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种控制系统性能进行比较，要比较就必须设定相同的比较基准（基础）。这种基准可以通过下述方法来实现；预先设定一些特殊的实验输入信号，然后比较各种系统对这些输入信号的响应，再将这些响应情况进行比较分析。为便于对系统分析和设计等实验研究，确定了具有代表性的五种信号作为典型信号。1、阶跃信号Rtr0)(0t0t式中：R为常数。当R=1时，称为单位阶跃信号，记为1(t)R(s)=L[1(t)]=1/s为什么要选择单位阶跃信号作为典型信号呢？我们说是有实际意义的，大家都知道控制系统在启动合上电闸的瞬间都相当于接受一阶跃信号，而阶跃信号又是最危险的信号，因为它是以突变信号，若系统在此恶劣的情况下能够保证性能，其他情况也应没有问题了。R2、斜坡信号（匀速信号）Rttr0)(0t0t式中：R为常数，当R=1时，称为单位斜坡信号，记作：r(t)=t，R(s)=L[t]=1/s2数控机床加工斜面时的进给指令，恒定电压输入的计分器的输出均为斜坡信号3、匀加速度信号（抛物线信号）20)(Rttr0t0t式中：R为常数，当R=1/2时，称为单位抛物线信号，记作：，R(s)=L[t]=1/s3221)(ttr匀速度信号、匀加速度信号用来检验系统的跟踪性能的rt()t02Rt4、脉冲信号0)(tr0t0t1）、理想单位脉冲这种信号在实际中难于构造2）实际脉冲信号0)(htrt00,tt在第二章，第七节中讨论过，满足三个条件时，此矩形脉冲可以看成单位脉冲信号①当---T为系统的时间常数；②---来源于工程经验数据；③T10h1hh5、正弦信号)sin()(tAtr式中：A为振幅，是常数，w为角频率；为初始相位二、为什么选这五种信号为典型信号三、单位阶跃信号引起重视的原因正弦信号主要用来进行频率特性分析。海浪对舰挺的扰动力，电源及机械振动均可视为正弦作用。rt()t0A23-2一阶系统的时域分析)()(trtydtdyT在第二章我们已经知道给一阶系统定义，凡是输出与输入之间可以一阶微分方程描述的，即称为一阶系统故一阶系统的数学模型对上述数学模型进行拉斯变换，得系统的传递函数11)()()()()()(TssRsysGsRsysTsy一、一阶系统的数学模型一阶系统在实际中有很多，如前面已经讨论过得RC电路r(t)RCi解：由电压平衡方程idtCtctciRtr1)()()(C(t)s(t=0)(1)(2)由（1）式：RRsIscsRscRsIsR1c(s)-R(s)I(s))()()()()()(得：1/RR(s)C(s)_I(s)由（2）式：cssIscsIcssc1)()()(1)(1/csI(s)C(s)故得RC电路的动态结构图1/RR(s)C(s)_I(s)1/csC(s)由动态结构图的闭环系统的传递函数11TsR(s)C(s)图中T=RC称为系统的时间常数二、一阶系统的阶跃响应单位阶跃信号的拉斯变换R(s)=L[1(t)]=1/s,所以有：TssTsTsTssc/1111s1C(s)C(s)111)(展开为部分分式将对上式两边进行拉斯反变换，得：Ttetc/1)(11TsR(s)C(s)从上式可见，一阶系统的阶跃响应由两部分组成①“1”与时间t无关的常数，成为稳态分量。稳态分量是与输入信号有关的量。②““是与时间t有关的量，称为瞬态（动态）分量。瞬态（动态）分量取决于系统的特征根。Tte/tC(t)00T0.6324T0.9821一阶系统的单位阶跃响应对于一阶系统只要确定了时间常数T，该系统就被确定了。那应该如何确定时间常数T?1tTcte()0.6320T2T3T4T5TAB斜率1Tct()163.2%86.5%95%98.2%99.3%t由一阶系统的单位阶跃响应曲线可见：TeTdttdctgtTtt11)(0/0（1）就是说一阶系统的单位阶跃响应曲线过零点的斜率为1/T（2）当t=4T时，系统的响应值达到稳态值的98.2%，误差(1-0.982=0.018),也就是说此时系统已基本进入稳定状态。（3）实际中，可用示波器记录下系统的响应曲线，在C(t)=0.632时，对应的时间t即为一阶系统的时间常数T(4)ts=3T----5%误差带ts=4T---2%误差带ts为系统的调整时间，所以时间常数T,反映了系统的惯性的大小，T大表征系统的惯性大，故系统响应慢，反之，则表征系统响应快。性能指标1.平稳性：非周期、无振荡，＝02.快速性ts：]%5[95.0)(3误差带对应时，tcTts]%2[98.0)(4误差带对应时，tcTts3.准确性ess：0)(1cess三、一阶系统的脉冲响应由一阶系统传递函数11)()()(TssRsysG系统的脉冲响应,即R(s）=1，故得：TteTTsTTsLsyTssRsGsy/1-11-1]/1/1[L]11[)]([Ly(t)11)()()(得上式进行拉斯反变换，ty(t)01/TT0.368(1/T)2T0.135(1/T)4T0.018(1/T)0T4T0.368(1/T)从图中可见：一阶系统的单位脉冲响应是一单调下降的指数曲线，当t=4T时，系统基本衰减完毕，趋于稳定。可见T越小，系统的过渡持续时间越小。四、一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡信号r(t)=tR(s)=L[t]=1/s2t/T-11211-22222TeT-t]/1[][]1[)]([Ly(t)/1s11s1111)()()(TsTLsTLsLsyTsTsTTsTsTsTssRsGsy，得：对上式进行拉斯反变换系统的跟踪误差：T(t)lime)1()()()(tss//稳态误差：TtTteTTeTtytrtTy(t)这表明一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，在过渡过程结束后，输入、输出之间仍然有一定的误差（跟踪误差），其值为时间常数T显然T小)(t五、一阶系统的单位加速度响应单位加速度信号321)(21)(ssRttr)(lime)1()()()(21)]([Ly(t)1s1s111)()()(ss/2/2221-32233teTTttytrteTTTttsyTsTsTsTTssRsGsytTtTt稳态误差：误差：，得：对上式进行拉斯反变换这说明一阶系统无法跟踪加速度信号举例：例（教材例3-1）一阶系统结构图如下。试求该系统的单位阶跃响应及调节时间ts。要求ts小于0.1，试问系统的反馈系数Kt应如何选择？100/sKtR(s)-C(s)解：由结构图得系统传递函数110011/1001/100)()()(skkskssRscsttt由闭环传递函数得：tkT1001系统的单位阶跃响应为：)1(1)]()([)]([)(111tTteksRsLsCLtC调整时间4T3或Tts1.010033tkTts3.0tk3-3二阶系统的时域分析用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制系统中应用的极为广泛，前面我们列举了不少的二阶系统，如RLC网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧—质块---阻尼器系统等等，此外还有许多高阶系统在一定的条件下，可以简化为二阶系统。为此我们详细研究和分析二阶系统的特性是具有十分重要的意义的。首先从实际的二阶物理系统结构中推导出二阶系统的数学模型，然后把数学模型化为二阶系统的标准形式例：RCL电路UrUcLRi解：根据克希夫定律：RcccriiiiRidtcuudtdiLu1（1）（2）（3）一、二阶系统传递函数的标准形式由（1）式：Ur(s)=LsI(s)+Uc(s)LssususIcr1)()()(1/LsUcUr_I(s)由（2）式RcssIsIRsIsuRsIsIcssucRRcRcc1)()()()()()(1)(RIR(s)Uc(s)Ic(s)1/RCSIR(s)由（3）式)()()(sIsIsIcRIR(s)Ic(s)I(s)—1/LsUr_I(s)UcIR(s)Ic(s)—1/RCSIR(s)RUc(s)1/Ls11RCSR_UrUc(s)1/Ls11RCSR_UrUc(s))1(RCSLsR_UrUc(s由此得到RCL网络的传递函数RLsLRCsRRRCsLsRRCsLsRRCsLsRsG2)1()1(1)1()(可见LRC网络为一二阶系统，将其传递函数化为标准形式222222111)(nnnssLCsCRsLCRLsLRCsRsG标准式CLRCRCRLCnnn2121,12,1由所以得：注意前面介绍一阶系统是知道，一阶系统一个常数：T二阶系统两个常数：,n系统的性能取决于这些常数二阶系统的动态结构图描述2(2)nnss—R(s)Y(s)开环传递函数：2()(2)nnGsss闭环传递函数：222()()2nnnCsRsss二阶系统的特征方程为2220nnss解方程求得特征根：21,21nnss1,s2完全取决于，n两个参数。当输入为阶跃信号时，则二阶系统的阶跃响应的形式为：tstseAeAAsy21210)(式中：A0---二阶系统稳态输出部分，它取决于系统的输入信号，故A0=1tstseAeA2121,---二阶系统瞬态输出部分，其主要取决于s1,s2，可见二阶系统的瞬态响应由系统的特征根s1,s2基本形式来决定。特征根分析①当时，我们将这样的二阶系统称为欠阻尼系统102