高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-1(微分中值定理)

1/12第一节微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2/12。xfba,ba,bfafba,0fxfba,一、罗尔定理定理1：（罗尔中值定理）如果函数满足以下条件：连续；上可导；则至少存在一点，有证明：因为在闭区间值与最小值定理，函数1）在闭区间2）在开区间3）上连续，利用最大xfba,MmmMxfba,ba,在闭区间上存在和最小值。，在是常数函数，的任一点处的导数都为零。最大值1）如果3/12mMbfafmM,bfmba,mfxfba,fhfhfh0limhfhfh0limhfhfh0limhbah,0fhf0h2）如果，因为至少有一个不。即存在使得。又因为在开区间上可导，存在，即存在。我们考虑这点的左导数和右导数，和当充分小时，所以此时有当时，有，等于端点函数值。无妨设所以4/120hfhf0h0hfhf0lim0hfhffh0lim0hfhffh0f1,0xxf1110xxxxf当时，有利用极限的保号性质因此注：定理中的三个条件缺一不可。在考虑函数2）1）注：定理中的三个条件缺一不可。在注：定理中的三个条件缺一不可。在5/121211210xxxxxfxfba,ba,abafbffxabafbfxfxFba,二、拉格朗日中值定理定理2：（拉格朗日中值定理）如果函数满足以下条件连续；则至少存在一点，有证明：考虑函数上可导；1）在闭区间2）在开区间6/12ba,ba,abbafabfbabafbfbfbFba,利用罗尔中值定理，至少存在一点，有即xFabbafabfaabafbfafaF0F显然在闭区间连续，在开区间上可导。0abafbffFabafbffbaxxx,,0xxxx,注：设，当时，在区间上利用拉格朗日中值定理7/120xxxx,xxxxfxfxxfxxxfy10xfIxfIIxx21,12xxxf21,xx21,xx01212xxfxfxf21xfxf当时，在区间上利用拉格朗日中值定理；在与之间存在一点使得定理3：如果函数在区间导数恒为零，那么在区间上恒为零。（无妨设），函数在区间上可导利用拉格朗日中值定理，存在有，即例1：证明：证明：对任给的0arctan12hhhhh。8/12112arccosarcsinxxx10nbabanababanbnnnn11ba,nxxfba,abafbff例2：证明：例3：，证明：证明：在区间上考虑函数，利用拉格朗中至少存在一点使得日中值定理，在区间ababnnnn1111nnnnbnnaba11nnnnnbababna即又因为所以9/12abnbababnannnn11xfba,ba,],(0baxAxfxx0limAxf0即例4：证明：若函数满足：上连续；上可导；，且则有讲解拉格朗日中值定理的几何意义1）在闭区间2）在开区间3）10/12xFxf,ba,ba,xFba,ba,aFbFafbfFf0aFbFba,0abFaFbF三、柯西中值定理定理4：（柯西中值定理）如果函数满足以下条件：上连续；上可导；在内不为零；，有证明：1）先证明。利用拉格朗日中值定理有1）在闭区间2）在开区间3）则至少存在一点存在11/12xFaFbFafbfxfxxba,ba,aFbFaFbfbFafaFaFbFafbfafaaFbFaFbfbFafbFaFbFafbfbfaba,00FaFbFafbff2）考虑函数显然在闭区间连续，在开区间上可导。利用罗尔中值定理，至少存在一点，有即12/12aFbFafbfFfxf）,[aax0kxfk0af0xf，其中在kafaa,例5：设在上连续、可导，且时，为常数证明：若则方程内至少有一个实根。