高等数学的教学课件 1-2（数列的极限）

第二节数列的极限一、数列极限概念的引入二、整标函数与数列三、数列极限的概念四、有极限数列的性质五、子列及其极限六、小结一、数列极限概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：播放——刘徽R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS二、整标函数与数列定义()()yfxxNN定义在正整数上的函数.叫做整标函数n习惯上自变量用表示,并简记为()().ufnnN,nun如果将函数值依正整数的自然顺序进行排列得一列数:12{},,,,nnuuuu,()().nufn称之为叫做数列的通项或一般项数列{}.nu有时直接将成为数列可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx数列的几何表示法:数列对应着数轴上一个点列：2,4,8,16,})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn例1.写出通项231,,,;35111,,,;391{()}3n{2}n1,1,1,1,{}21nn1.有界性对数列nu,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mun成立,则称数列nu有界,否则,称为无界.如,,21nnxn数列－2nnx数列有界无界1(1),n11(),3n1(1)nnn,[,]nuMM数轴上对应于有界数列的点都落在区间内.注：,(),nnsGRsGsuGu数列有界的等价定义：若存在，都有则称数列有界.2.单调性如,2nnu数列1(),321nnnun数列是单调增数列都是单调减数列1nnnuunu，都有，如果对一切的对数列是单调增数列。则称数列nu单调减三、数列极限的概念1(1){1}:nnn研究数列当时的变化趋势56,43,34,21,2问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?nxn如果是,该数值等于多少?播放当n无限增大时,nx无限接近于1.问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划?我们知：|-|,abab两个数的可以用接近程度绝对值来衡量.||baab越小，与越接近.1|1|nnxx无限接近与等价于可以无限变小(任意小)1nx可以要多么小就多么小,看1nx只要n充分大,小到什么要求.1nx现考察nnxnn11)1(11,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nxnxn1|1|度量有极限A的数列也称为收敛于A,没极限称为发散.{},nuANnN设有数列及定值.如果对于预先给定的任意正数总存在正数,使得当时,不等式Aun{}nnuA恒成立,则称当时,数列的极限为,记为lim.nnnuAnuA或当时，定义注1.;nuA的任意性:刻划与的无限接近2.NN的存在性:与有关,不唯一,能找到一个即可.3.limnnNxA定义:0,0,..,NstnN当时4.几何解释:x1u2u2Nu1Nu3u2aaA.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaauNnnAxn数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nu1)1(1nnnn1,0任给,1nu要,1n只要,1n或所以,],1[N取,nN则当时就有1(1)1nnn1(1)lim1.nnnn注意：(1)(2)(3)(4)给出度量考察接近程度N找套用定义格式下结论例2lim0,01.nnqq证明其中证,0任给,0nnqx],lnln[qN取,nN则当时就有0,nqlim0.nnq典型极限1,nx要lnln,nq只要ln.lnnq或简化证明,0任给0,nnxq令],lnln[qN取,nN则当时就有0.nqlim0.nnqlnln,nq则ln.lnnq甚至更简化为,0任给ln[],lnNq令,nN则当时就有0.nqlim0.nnq例3.0113lim2nnnn求证证时下式成立：，使得要找一个任给NnN,02310(1)1nnn：故先简化不等式较难去找直接解不等式)1(,)1(Nnnnnnnnnn3311301132223(1)n故只需要，就可保证式成立.3(1)NnN因此取，当时，有式成立.证毕.例4)1,0(.1limaaann求证证时下式成立：，使得要找一个任给NnN,01(1)na，)1ln(ln),1ln(ln1anan即两边取对数得：。即式变为，则先设1,1)1(1nnaaa式成立。时，有，当取)1()1ln(lnNnaN。证毕。时，可类似找到相应的当Na10典型极限例50,lim0,lim.nnnnnuuaua设且求证:证10,a任给，取lim.nnua,limaunn,1auNnNn时恒有使得当nnnuauauaaaun.1a从而四、有极限数列的简单性质性质1(唯一性)若数列有极限，则极限是惟一的.证(反证法)lim,lim,.nnnnuaubba设又且02ba取,由定义：11,;nNnNxa当时恒有22,;nNnNxb当时恒有,,max21NNN取时有则当Nn()()nnbauaubnnuaub2.ba.矛盾,.ab故极限唯一性质2(有界性)证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则11.naxa即有},max{,n则对一切自然数.有界故nx有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.无界数列必定发散.不是充分条件.,1a1aM记,|,|1x|,|2x|,|Nx,Mxn皆有例6.)1(1是发散的数列证明nnx证,21取,0N则,时即当Nn区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内.,}{是有界的nx,时当Nn,21成立有axn反证法假设数列}{nx收敛，则有唯一极限a存在.),21,21(aaxn但却发散.证毕.}{)0(0)0(0同号与即：或时，使当，，则存在正数或，且有极限若数列AuuuNnNAAAunnnn性质3（保号性）20limAuNnNAAunnn时，使当，，则存在正数，且若推论30lim00lim0AAuuAAuunnnnnn，则且若，，则且若推论4五、子列及其极限的子数列（或子列）．的一个数列称为原数列到中的先后次序，这样得这些项在原数列保持中任意抽取无限多项并定义：在数列nnnxxx,,,,,21nixxxx,,,,21knnnxxx.knnxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列注意：例如，是数列的一个子数列。定理4收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证的任一子数列．是数列设数列nnxxk,limaxnn.,,0,0axNnNn恒有时使,NK取,时则当KkNKknk.axkn.limaxknk证毕．由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.一般不能断定原数列的收敛性;仅从某一个子数列的收敛例试证数列不收敛.ncos证因为的奇子数列ncos不收敛.收敛于而偶子数列,1,1,1ncos所以数列收敛于,1,1,1,1,1例对数列nx，若).(,212kaxaxkk证明：证明：,0由时，当知，1212,0lim1112KkKaxkk.limaxnn.12axk又由时，当知，22222,0limKkKaxkk.2axk时，就有当取NnKKN,2,12max21.lim.axaxnnn即证毕．敛于a.}{nx}{12kx}{2kx数列的奇子数列和偶子数列均收敛于同一常数a时,则数列}{nx也收六、小结作业数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.研究其变化规律;有界性,唯一性,保号性,小结极限思想,精确定义,几何意义;