高等数学下册 chap2(导数与微分)2-3(隐函数及参数方程确定的函数的导数)

一、隐函数的求导法三、参数式函数的求导法四、相关变化率二、对数求导法第二节隐函数和参数式函数的求导法定义由二元方程)(xfy0),(yxF)(xfy1.隐函数的定义)(xyy所确定的函数0),(yxF称为隐函数(implicitfunction).的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.xy关于的隐函数客观存在,但无法将yx表达成的显式表达式.显化.一、隐函数的求导法2.隐函数求导法隐函数求导法则用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化如何求导例解0yxeexy设想把.,00xyxyyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程则得恒等式代入方程,)(xyy所确定的函数0)()(xyxeexxy将此恒等式两边同时对x求导,得xxy)(xxe)(xye)()0(因为y是x的函数,是x的复合函数,所以ye求导时要用复合函数求导法,yyxxeyey0.10,0yx000yxyxxexyey虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.y一般来说,隐函数求导,求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,y例解,0sinyxey设.xy求法一利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得ycosxyye1yexxy0yyxxeyeycos解出,xy得法二从原方程中解出,x得yeyxsinyeysinyeeyxyysinsin先求x对y的导数,得yx)sin(cosyyeyyeyysincos再利用反函数求导法则,得yxxy1yyxeyecos]cossin)1([yeyeyy例.,23,23,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解,求导方程两边对x23xxyxyy22.1切线方程)23(23xy.03yx即2323xy,xy即23yy3yx3y法线方程通过原点.23,2323,23例.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx解得求导方程两边对,x34xy得求导,x212x.16134yyyxy0yyyxyyy21234yy0)1,0(41将上面方程两边再对y)1,0(0101010141414141.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx或解得求导方程两边对,x04433yyyxyx解得xyxyy3344得求导两边再对将,4433xxyxyyyy)4(3xy)12(2xy)4(3xy;41)1,0(y)1,0(.16123)4(xy)112(2yy利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,正交轨线.称这两条曲线是正交的.如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族中的所有与它相交的曲线均正交,称这是正交的两个曲线族或互为正交曲线族在很多物理现象中出现,例如,静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的等温线与热流线正交,等等.).()2,2(2282222正交处垂直相交在点与曲线试证曲线yxyx证:8222求导得两边关于对xyx,042yyx)2,2(y:222求导得两边关于再对xyx,222yx)2,2(y即证.两条曲线在该点的现只须证明切线斜率互为负倒数..21.2,)2,2(是两曲线的交点易验证点.)()2()(xvxu幂指函数作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy如对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单..sinxxy适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法然后利用隐函数的求导法求出导数.二、对数求导法例解yln求导得上式两边对xy1.,)4(1)1(23yexxxyx求设142)1(3111xxxy等式两边取对数得]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx)1ln(xx)1ln(31x)4ln(2x隐函数)(xu])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf两边对x求导得)(xf:幂指函数)(xf)(xv)0)((xu等式两边取对数得)()()(xuxuxv)(xf)(ln)(xuxv例解.),0(sinyxxyx求设xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx等式两边取对数得注复合函数)0)(()()(xuxuyxv改写成)(ln)(xuxvey.),0(sinyxxyx求如上例),0(sinxxyx将则xxxylnsinxxln(cos)sinxx只要将,lnsinxxey改写成幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导,有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数yln两边对x求导yybalnxabaxln]lnln[xba]lnln[axbxb.,1.12sinyxxyx求设解答求导得上式两边对x)1ln(lnln2sinxxyx)1ln(lnsin2xxx212sinlncosxxxxxxyy)12sinln(cos2xxxxxxyy等式两边取对数.,.2yyxxy求设解答,lnlnyxxy,lnlnyyxyxyxy.lnln22xxxyyyxyy..3yxyx，求设三、参数式函数的求导法.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t,)(),(都可导再设函数tytxxyddtydd)()(tttxtyxydddddd即,)()(中在方程tytx具有设函数)(tx所以,tyddxtdd),(1xt单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得txdd1,0)(t且][y)(1x例解txtyxyddddddttcos1sintaatacossin2cos12sindd2txy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax,2时当t所求切线方程为)12(axay)22(axy即)cos1()sin(tayttax),12(ax.ay例解,21sin,cos,,,2000gttvytvxv其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力,0时刻的切线方向轨迹在t;)1(0的运动方向炮弹在时刻求t.)2(0的速度大小炮弹在时刻t可由切线的斜率来反映.即xyO0v时刻的运动方向在0)1(txyddcossin00vgtv,21sin,cos200gttvytvx.cossin000vgtvtttvgttv)cos()21sin(020xydd0tt轴方向的分速度为时刻沿炮弹在yxt,)2(00ddttxtxv0ddttytyv00singtv时刻炮弹的速度为在0t22yxvvv2020020sin2tggtvv,21sin,cos200gttvytvxcos0v0)cos(0tttv0)21sin(20ttgttvxyO0vvxvyv设由方程)10(1sin222yytttx确定函数,)(xyy求方程组两边对t求导,得故xydd)cos1)(1(ytttxddt2ytcos1222tycostydd0例解txddtxddtyddtyddtydd)1(2t若曲线由极坐标方程)(rr给出,利用可化为极角参数方程,因此曲线ysin)(rcos)(rcos)(rddyddx)(rr切线的斜率为oAMr,cos)(rxsin)(rysin)(r例.42sin处的法线方程在求曲线ar解将曲线的极坐标方程转换成cos)(rxcos2sinasin)(rysin2sina)(为参数则曲线的切线斜率为xyddcos2sinsin2cos2aa1所以法线斜率为又切点为44,224axay224sin2sincos2cos2aa故法线方程为axay2222即0yx,1参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到.)(,)(tyytxx为两可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式对t求导相关变化率求出未知的相关变化率四、相关变化率相关变化率0),(yxFtytxdddd和之间的关系式代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)例解,秒后设气球上升t500tanh求导得两边对t2sec0),(hF(1)(2)?,500./140,500多少员视线的仰角增加率是观察米时当气球高度为秒米其速率为米处离地面铅直上升一气球从离开观察员),(th其高度为则的仰角为观察员视线),(ttdd5001thdd,/140dd秒米thtdd仰角增加率(3)2sec2140500121)/(14.0分弧度h500,1tan,500时当h22tan1sec).(,10,100假定气体压力不变加的速率气球半径增厘米时求在半径为的气球的速率注入球状秒立方厘米设气体以设自开始充气以来的时间t,334)1(rV,)2(求导两边对t秒立方厘米100dd)3(tV解体积为在t时刻气体的半径为trrtVdd334dd2得),(tVV),(trr)(41秒厘米trdd10r小结隐函数求导法则工具:复合函数链导法则;对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则.相关变化率通过函数关系确定两个变化率之间的解法:三个步骤.关系,从其中一个变化率(已知)求出一个变化率;一般地)0)(()()()(xuxuxfxv])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf1.对数求导法可得2.写为指数形式)(ln)()()()(xuxvxvexuxf按复合函数求导法则求导思考题(是非题)正确解答试问)ln()ln()()(2lnxxxxxxexxxxxxxxxxx)ln2(xxxxxx对吗?非)(xxx]ln)ln([1xxxxx