高等数学下册 chap2(导数与微分)2-4(函数的微分)

一、微分的概念三、微分基本公式和运算法则四、函数的局部线性化二、函数可微性与可导性之间第二节函数的微分的关系五、微分的实际意义正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;的主要部分且为Ax)1()2(xx2)(x1.问题的引出实例x线性函数(linearfunction)xx0xx0一、微分的概念的线性(一次)函数,x当,的次要部分且为A很小时可忽略..2,0xxAx很小时当的高阶无穷小,再如,,03时处的改变量为在点设函数xxxy3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当xy),()2(xox的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值.y求函数的改变量.320xx),(xfy对一般函数,的常数是不依赖于其中xAxAy,0A当yxA满足如果)(xfyy一定条件,的是因此xxA之差且它与y线性函数,对一般函数则无论在理论分析上还是在实际).(xo则函数的增量可以表示为如果存在这样的近似公式,应用中都是十分重要的.)(xo,很小时且xxAy),(xfy定义,)(在某区间内有定义设函数xfy2.微分的定义,00在这区间内及xxx)()(00xfxxfy如果),(无关的常数是与其中成立xA0)(xxfy在点则称函数xA0dxxy相应于自变量在点0)(xxfy.d0xAyxx即可微(differentiable),),(d0xf或记作微分(differential),并称为函数的增量x)(xoxA由定义知:;)1(的线性函数是自变量的增量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAdyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)5(线性主部很小时当dyyx(微分的实质)满足什么条件的函数是可微的呢？微分的系数A如何确定呢?微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题.可微在点函数0)(xxf定理证(1)必要性,)(0可微在点xxf),(xoxAy.A,)(0可导在点即函数xxf)(xf函数.)(d0xxfy即有).(0xfA且,0处可导在点x),(0xfA且xyxxoA)(0limx0limx二、函数可微性与可导性的关系(2)充分性),()(0xxxfy,)(0xfxy即,)(0可导在点函数xxf),(lim00xfxyx),()(0xoxxf,)(0可微在点函数xxf.可微可导求导法又叫微分法.)(d0xxfy从而.)(0Axf且其微分一定是可微在点函数0)(xxf定理)(xf函数即有,0处可导在点x),(0xfA且.)(d0xxfy)0,0(x有关和与xxxx的增量通常把自变量)2(xxfyd)(d)(ddxfxy导数称为微商),(ddxfy或称为函数的微分,记作.)(dxxfy即称为自变量的微分,记作,dx.dxx即注,)()1(的微分在任意点函数xxfy例解,d)2(,d)1(,23xyyxy求23xy02.02d)3(xxy.24.002.02202.023d)3(xxxxxxyxxy)(d)1(3xx23xxyxx2223d)2(x12dxx23dx12几何意义y当,很小时当x(如图)ydxxfyd)(d0微分的几何意义对应的增量,.MNMP可近似代替曲线段切线段增量时;是曲线的纵坐标,的附近在点M就是切线纵坐标xtanPQydxyO)(xfyT0xMxx0NPQyyd)(xoxxxfyd)(d求法1.基本微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221三、微分基本公式与运算法则计算函数的导数,乘以自变量的微分.xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d22222.运算法则2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu),),(),((Rxvvxuu例解.d),ln(2yexyx求设,2122xxexxey.d21d22xexxeyxx例解.d,cos31yxeyx求设)(dcosd31xexy,3)(3131xxeexxexexyxxd)sin(d)3(cosd3131.d)sincos3(31xxxex.sin)(cosxx)(cosd31xexvuuvuvdd)(d;d)(d,)1(xxfyx是自变量时若的可微即另一变量是中间变量时若tx,)2(),()(xfxfy有导数设函数ydxd.d)(dxxfy结论)(xfy微分形式的不变性xxfyd)(d3.复合函数的微分法此结论用于求复合函数的导数,有时能简化运算.无论x是自变量还是中间变量,函数的微分形式总是则函数),(tx)(xf)(ttd例.d,2yeybxax求设解法一用复合函数求导公式xeybxaxd)(d22bxaxe法二用微分形式不变性,ueyueyud)(dueud2bxaxe2bxaxe.2bxaxu在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.d)(2bxaxxbxad)2(xbxad)2(例)2arctan(dxx例解.d,lnyxy求设)(lndxxxxdln1x1lnd)(lnxx2arctan)2(arctandxxxd2arctan)2(d)2(112xxxxxxxd])2(122[arctan2xdx例解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt,dcos)(sind)1(tttttdcos.dcos)sin1(dttCt);sin1(dt)(d)(sind)2(2xx,cos42xxx)(sind2x)(sind1txxxdcos22).(d)cos4(2xxxxxxd21例解.d122yxyyx求设yxd20)(d22xyyx.d22d22xxyxyxyyxxyd2xyd2yxyd20四、函数的局部线性化).())(()(000xfyxxxfxfyx近似代替曲线段很小时，可用切线段由几何意义，.)()()(00xxfxfxf即用线性函数近似代替非线性函数;)(.10附近的近似值在点求xxxf)()(00xfxxfy.)(0xxf.)()()(000xxfxfxxf)(很小时x例.0360coso的近似值计算解,cos)(xxf设)(,sin)(为弧度xxxf,360,30xx.23)3(,21)3(ff)3603cos(0360coso3603sin3cos3602321.4924.0;0)(.2附近的近似值在点求xxf.)0()0()(xffxf,)()()(000xxfxfxxf.,000xxxxx则令常用近似公式)(很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn为弧度为弧度证明,1)()1(nxxf设只证,)1(1)(11nxnxf.1)0(,1)0(nffxffxf)0()0()(.1nx例.计算下列各数的近似值解.)2(;5.998)1(03.03e335.110005.998)1(3)10005.11(100030015.0110)0015.0311(10.995.903.01)2(03.0e.97.0五、微分的实际意义时间的微分速度路程的微分dttvds)()1()()2(2dxxdxrdV厚度的微分高度截面积体积的微分时间的微分功率功的微分dttpdW)()3(面积的微分dxxfdS)()4(弧长的微分22)()()5(dydxds微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:.可微可导★★小结从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.★导数与微分的区别:.,,))((),()(.10000它是无穷小实际上的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数xxxxfdyxfxxf))((limlim0000xxxfdyxxxx.0.))(,()())((,))(,()()(,.200000000纵坐标增量的处的切线在点在点是曲线而微处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf★微分的基本思想以直代曲即用线性函数近似代替非线性函数★熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分