高等数学下册 chap2(导数与微分)2导数与微分习题课

一、主要内容二、典型例题导数与微分习题课求导法则基本公式导数xyx0lim微分xydy关系)(xodyydxydyydxdy高阶导数高阶微分一、主要内容1、导数的定义即或记为处的导数在点并称这个极限为函数处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时内仍在该邻域点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数,)(,,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy定义.)()(limlim00000xxfxxfxyyxxxx2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.2、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxxarc3、求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)((c是常数),（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx则有的反函数为如果函数(3)复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程xytytx;)()(ttdtdxdtdydxdy.)()()()()(322tttttdxyd(6)参变量函数的求导法则4、高阶导数,)()(lim))((0xxfxxfxfx二阶导数记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)5、微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)6、导数与微分的关系).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理7、微分的求法dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud8、微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxdxxfdy)(二、典型例题例).0(),100()2)(1()(fxxxxxf求设解0)0()(lim)0(0xfxffx)100()2)(1(lim0xxxx!100例.,1111ln411arctan21222yxxxy求设解,12xu设,11ln41arctan21uuuy则)1111(41)1(212uuuyu411u,2142xx)1(2xux,12xx.1)2(123xxxyx.,)0,0()(22dxydyxxyxfyyx求所确定由方程设函数例解两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy322)1(ln)1(ln)1(lnyxyxxyy).(,)2()(xfxxxxf求设例解先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(222xxxxxxxxxxf,0时当x,0)0()0(ff;0)0(f,20时当x;43)(2xxxf,02时或当xx;43)(2xxxf,2时当x2)2()(lim)2(2xfxffx2)2(lim22xxxx.42)2()(lim)2(2xfxffx2)2(lim22xxxx.4),2()2(ff.2)(处不可导在xxf,20,43,0,00,2,43)(22xxxxxxxxxf或.,114)(22nyxxy求设例解11422xxy1111234xx)(11nx)(11nx].)1(1)1(1[!)1(2311)(nnnnxxny1)(!)1(1nnnxnx,)1(!)1(1nnxn,)1(!)1(1nnxn312x24x4)(xf设在2x处连续,且,32)(lim2xxfx求.)2(f)2(f)(lim2xfx)2()(xxf02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3例解)2(x2limx试确定常数a,b使f(x)处处可导,并求)(xf1x,bxa1x,)1(21ba1x,1时xaxf)(xxf2)(,2x例解,1时x利用)(xf1x在处可导,)1()01()01(fff)1()1(ff即ba12a,1,2ba2)1(f1,21,2)(xxxxf是否为连续函数?应有)(xf1x,bxa1x,)1(21ba1x,2x)1(21ba,1时xaxf)(xxf2)(,1时x函数)(xf在该区间上存在,但)(xfy也在该区间上连续.例则肯定导函数注并讨论求设),(0001sin)(2xfxxxxxf.)(的连续性xf解,0xxxxxf1cos1sin2)(,0x0)0()(lim)0(0xfxffxxxx1sinlim00不能断定在某区间上连续并可导,)(xfy.)()(0001sin)(2的连续性并讨论求设xfxfxxxxxf显然当,0x.0001cos1sin2)(xxxxxxf)(xf为初等函数是连续的.但当,0x)(xf不趋向于任何极限.因此,)(xf.0点间断在x)0)((处不可导在xxf例在点又函数设)(,0001sin)(3xfxxxxx.)]([)(,0的导数求处可导xfxFx解0)0(0)1sin()]([)(3xfxxxfxfxF,0x)1cos1sin3)(1sin()(23xxxxxxfxF,0x0)0()(lim)0(0xFxFFx0)0()1sin(lim30xfxxfx01sin)0()1sin(lim330xxfxxfx0)0(fxxx1sin3000)1cos1sin3)(1sin()(23xxxxxxxxfxF故00)0(0)1sin()(3xfxxxfxF例解两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy322)1(ln)1(ln)1(lnyxyxxyy.dd,)0,0()(22xyyxxyxfy求所确定由方程设函数xy