例说求函数值域的十种基本方法

例说求函数值域的十种基本方法值域是全体函数值所构成的集合，值域也是构成函数的三要素之一。由于求函数值域所涉及到的知识面较宽，所用到的数学思想与数学方法也相应较多，因此、求函数的值域往往是数学考察的基本内容之一，本文将举例说明求函数值域常用的十种方法，仅供参考。1、利用非负数的性质根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数216xy的值域。(2)求函数1322xxy的值域。解析：(1)161602x，41602x故所求函数的值域为40，y。(2)012x，原函数可化为3)1(22xxy，即3)1(2yyx，当1y时，yyx132，02x，013yy，解得13y又1y，所以13y，故所求函数的值域为），13[y。2、利用函数的图象对于含有绝对值（或分段）函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。例2、求函数|1||2|xxy的值域。解析：去掉绝对值符号得：)1(3)1(2)21(12)1(2)2(3)1(2xxxxxxxxxxy。画出函数的图象（如图）：由函数的图象可得，原函数的值域为]33[，y。3、利用二次函数的性质对于二次函数或与二次函数有关的函数，在求其值域时常用此法。例3、(1)求函数]22[2，，xxxy的值域。(2)求函数]231[27，，xxxy的值域。解析：(1)41)21(22xxxy，]22[，x，416y故所求函数的值域为]416[，y(2)849)471(2722727222xxxxxxxy，]231[，x，4273y解得：,故所求函数的值域为]4273[，y。4、利用互为反函数的性质因为原函数的值域与其反函数的定义域相同，所以可由求其反函数的定义域来确定原函数的值域。例4、求函数)10(aaaaaayxxxx且的值域。解析：已知函数的反函数为)10(11log21)(1aaxxxfa且由011xx，解得11xx或，故所求函数的值域为)1()1(，，y。5、利用换元法某些函数通过换元，可使其变为我们熟悉的函数，从而求得其值域，但在代换时应注意等价性。例5、求函数xxy41332的值域。解析：令tx413，0t，则4132tx，44)1(21272122ttty，当且仅当时取等号，1t故所求函数的值域为]4(，y。6、利用部分分式法对于形如)0()()0()(222222dafexdxcbxaxxfcadcxbaxxf或的有理分式函数均可利用部分分式法求其值域。例6、(1)求函数113xxy的值域。(2)求函数122xxxxy的值域。解析：(1)因为314314)1(31433113xxxxxxxy，故所求函数的值域为)3()3(，，y(此题也可用反函数法求解)(2)因为43)21(111111111222222xxxxxxxxxxxy，而4343)21(2x，所以431102xx，则131y，故所求函数的值域为)131[，y。(此题也可用判别式法求解)7、利用判别式法将函数表达式转化为关于x的一元二次方程，把y看成相应的系数，因为方程有实根，由判别式0，求得函数的值域，此法常用于)0(2222dafexdxcbxaxy的有理分式函数的值域探求问题。例7、求函数1122xxxy的值域。解析：由于函数的定义域为R，所以去分母整理得：0)1()1(2yyxxy，当1y时，0)1(4)1(2yy，即04832yy，解得：232y，又当1y时，0x，]232[，y.8、利用三角函数的有界性由于三角函数具有有界性：1|cos|1|sin|xx，，这一性质在求有关函数的值域中有其独特的重要作用。例8、求函数10cos23sin3xxy的值域。解析：由于010cos2x，所以去分母整理得：310cos2sin3yxyx，)32(tan310)sin(492yyxy，则249310)sin(yyx.由1|)sin(|x，得1493102yy，解得：085y，故所求函数的值域为]085[，y。9、利用函数的单调性利用函数的单调性由函数的定义域先求出内函数的值域，再进一步求出外函数的值域(此法对求复合函数的值域非常适用)。例9、(1)求函数)102(1log235xxyx的值域。(2)求函数10)10(])21(1[logaxyxa，，，的值域。解析：(1)令1log2251xyyax，，由于]102[21，在、yy上均为增函数，所以21yyy在]102[，也是增函数，所以8112log233miny，339log235maxy故所求函数的值域为]3381[，y。(2)令xt)21(，)10(，x，则xt)21(在R上递减，)121(，t，)211(，t，再令)210(1，tu，又)210(log，在uya上递减，故所求函数的值域为)(log，ay10、利用均值不等式对于非基本函数，若所给函数表达式符合均值不等式，可试用此法。例10、求函数)310)(31(2xxxy的值域。解析：当0310yx时，，当0310yxx时，或当)31(232394)31(3102xxxxxyx时，24343)31(2323943xxx.当且仅当时等号成立。92x故所求函数的值域为]24340[，y。