概率论与数理统计几种重要的分布

第四章几种重要的分布§4.1二项分布§4.2超几何分布§4.3泊松分布§4.4指数分布§4.6正态分布一、两点分布变量所服从的分布。只取两个可能值的随机X1x2xPpq.1qp其中分布。的服从参数为称若10..,0,121pXvrxx2、数字特征1、定义,pEX.pqDX§4.1二项分布二、二项分布:),10(,的分布为成功的次数重贝努里试验中事件则在成功的概率为事件如果在一次试验中XAnppA.3,3,,,9.01的分布次中取到的合格品件数求次连续每次一件重复抽取三次、一批产品的合格率为例X.)(knkknqpCkXP。则称其中的分布为若),(~,1,10,,1,0,)(pnBXpqpnkqpCkXPXknkkn1、定义2、数字特征nkknkknqpkCEX0nkknkqpknknk0)!(!!nkknkqppknknn1)1()1(1!)1()1()!1()!1(nkknkknqpCnp111110111nmmnmmnkmqpCpn；np1)(nqpnp),(~pnBX22)(EXEXDXnkknkknqpCkEX122nkknkqpknknk02)!(!!nkknkqpknknkkk0)!(!!)1(EXqppknknnnnkknk2)2()2(22!)2()2()!2()!2()1(npqpCpnnnkknkkn22222)1(nppnn2)1(.npq例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近6天内用水量正常的天数的分布。解：设最近六天内用水量保持正常的天数为X。它服从二项分布，n=6,p=0.75。利用二项分布公式计算X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780解：X服从二项分布，n=10,p=0.2。利用二项分布公式计算例3、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。求同时停车数目X的分布。X012345678910P0.110.270.300.200.090.030.010.000.000.000.00例4、一批产品的废品率为0.03，进行20次重复抽样（有放回）。求出现废品的频率为0.1的概率。解：X表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20,p=0.03。利用二项分布公式计算.0988.0)2(1.020XPXP3、二项分布的最可能值.,,)(:00的最可能值为二项分布称记作取最大值的使概率定义kkkkXP:,)(,00则有下面不等式最大时设kXPkk1)1()(1)1()(0000kXPkXPkXPkXPpnpk010pnpk不是整数当为整数当或即pnppnppnppnppnpk,][,10例5、某批产品有80％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数X的最可能值k，并用贝努利公式验证。解：一等品数X服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4，所以k=3,4时P{X=k}最大。X01234P0.00160.02560.15360.40960.40960011kppnppknppppnnnn0,knpnn很大时，频率为概率的可能最大证明：YXnYpnBX则且若定理,),(~:.1),,(~pqqnB其中有对于,,,1,0nm)()(mXnPmYP)(mnXPmmnmnnqpC).,(~qnBY则).()()2();()()1(),,(~),,(~:mnYPmXPmnYPmXPqnBYpnBX则有若推论例6、某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为60％的概率。).2.0,30(~,30),8.0,30(~,30:BYXYBXX则令且次命中目标的次数表示设解)18(6.030XPXP)12(YP)11()12(YPYP...099690990500064).5(,42,6),,(~7XPDXEXpnBX计算、已知例.,:pn首先计算解,3.020426pnnpqDXnpEX.7625.0)4(1)5(:).3.0,20(~XPXPBX查表得则例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取整数，假定每个加数的取整误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。.,1.0,,,010,2)(~8的分布求的次数观测值不大于表示用次独立观测进行现对其它、设例YYnXxxxfX)01.0,(~01.02)()1.0(1.001.0nBYxdxdxxfXPp因此解：例1：某班有学生20名，其中5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。)4,3,2,1,0()(4204155kCCCkXPkk例2：某班有学生20名，其中3名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。)3,2,1,0()(4204173kCCCkXPkk§4.2超几何分布:,,,,,21的分布为超几何分布则称元素的个数个中第一类表示这令个从中不放回抽取第二类个属于个属于第一类其中个元素分为两类设XnXnNNN1、定义2、数字特征.1,211NnNNNNNnDXNNnEX),,(~NMnHX}).,min{,,2,1,0(,)(111NnmCCCmXPnNmnNNmN3、超几何分布与二项分布的关系.)(,,,:211mnmmnnNmnNmNqpCCCCmXPpNNNn有时当对于固定的定理证明：,,1时当pNNNnNmnNmNCCCmXP21}{)!(!))1(()1(!))1(()1())1(()1(222111mnmnNNNnmnNNNmNNN)!(!!mnmn)11()21)(11()11()21)(11()11()21)(11(22211121NnNNNNmnNNNmNNNNnmnmmnmmnNNNNC21)(NqpCmnmmn例3、一大批种子的发芽率为90％，从中任取10粒，求(1)播种后恰好有8粒发芽的概率。(2)播种后不少于8粒发芽的概率。解设X为10粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。但是N很大，n=10项对于N很小，可以认为X近似服从二项分布B（10，0.9）。1937.01.09.0)8()1(28810CXP9298.01.09.0)8()2(1081010kkkkCXP.1,21pNNpNNN分布为极限，时，超几何分布以二项当几何分布1、定义)(~pGX在无穷次贝努利试验中，事件A首次发生时所需要的试验次数X的分布。:,分布为数的一切可能取值为正整X1)(kpqkXP2、数字特征.,12pqDXpEX3、无记忆性).()|(,,mXPnXnmXPnm都有对任意非负的)(),()|(nXPnXnmXPnXnmXP1)()(niiXPnXP证明：)()(nXPnmXP11niipqqpqn1.nqnnmqqmq).(mXP例1、(离散随机等待时间)每张彩票中奖概率0.01，某人每次只买一张。(1)他买到第k张才中奖的概率，(2)买了8张都没有中奖的概率。解.买到第一张中奖彩票需要的次数X~G(0.01)199.001.0)()1(kkXP899.0)8()2(XP1、定义).(~,0,,2,1,0,!)(PXkekkXPXk则称其中的分布为若)(~PX2、数字特征ekkEXkk0!11!)1(kkke01!mmkmme,ekkXEkk022!EXekkkkk0!)1(，222)(EXEXDX.§4.3Poisson(泊松)分布3、泊松分布与二项分布的关系.!lim)(lim,,0lim,10),,(~:ekqpCkXPknpppnBXkknkknnnnnnn有对任何非负整数则且若定理:,,0:则有设证明npnknkknkknnnkknnnppC1!)1()1()1(knknnknk11111!ekppCkknkknn!)1(lim定理说明，对于成功率为p的n重贝努利试验，只要n充分大，而p充分小，则其成功的次数X近似服从参数的泊松分布。np例1、X服从poisson分布，EX=5，查表求P(X=2)，P(X=5)，P(X=20)。.!!)(limlim)(limememnpqpCmXPmnpmnmnmmnnn一般当n≥20，p≤0.05时可以近似计算例2、检查了100个零件上的疵点数，结果如表。用poisson分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。疵点数0123456频数14272620733解:λ=14×0+27×1+26×2+20×3+7×4+3×5+3×6)/100=2疵点数0123456频数14272620733频率0.140.270.260.20.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0361例3、一袋重量为500克的种子约10000粒，假设该袋种子的发芽率为98.5%，从中任取100粒进行试验，计算恰好有1粒没有发芽的概率。解1：设100粒中未发芽的种子有X粒，服从超几何分布。N＝10000，N1＝9850，n＝100，由于N很大，n＝100相对于N很小，X可用二项分布近似计算解2：n＝100，p=0.015很小，X可用poisson分布近似计算5.1np.334695.0)1(XP查表得.33595.0)985.0(015.0)1(991100CXP例4、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1/2。计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。解:设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数。要求泊松分布的参数。由题意，)2(21)1(XPXP4).4(~PX)2(1)3(XPXP)2()1()0(1XPXPXP.761896.04、Poisson分布的最可能值kkXPkXPkkXPkXP)1()(11)()1(不是整数若为整数若],[,1,0k超几何分布nNmnNNmNCCCmXP11)(时且较小很大pNNnN1,,二项分布mnmmnqpCmXP)(泊松分布时且较小很大0,,nppnemmXPm!)(超几何分布、二项分布、泊松分布的关系常见的离散型分布两点分布X~(0—1)二项分布X~B(n,p)泊松分布X~P()超几何分布X~H(n,M,N)几何分布X~G(p),,,1,0)(nkqpCkXPknkkn,,2,1,0!)(kkekXPkX