第一章第三节+克莱姆法则

返回1§3克莱姆法则一、克莱姆法则二、齐次线性方程组有非零解的充要条件返回211112211211222221122,,nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(14)定理二（克来姆法则）设线性方程组的系数行列式一、克莱姆法则11111210,jniiinnnjnnaaaDaaaaaa(15)返回3则非齐次线性方程组(14)有唯一解:.,,,,,2211DDxDDxDDxDDxnnjj(16)其中nnjnnjnnjnjiijiinjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,11,1,111,111,111(第i行)(第j列)(1,2,,)jn返回4证明:先验证(16)是(14)的解,即验证:.),,2,1(2211nibDDaDDaDDaininiiD≠01122.iiinniaDaDaDDb?niniiDaDaDa2211)(112121111nniiiAbAbAbAba1D按第1列展开)(222221212nniiiAbAbAbAba2D按第2列展开)(2211nnnininninAbAbAbAbanD按第n列展开因为(17)返回5nkkikAab111)()(122nkkikAabnkikikiAab1)(nknkknAab11)(由定理一及引理.Dbi再证(14)只有一个解.,),,,(21是任一解设nccc).,,2,1(njDDcjj只要证有代入把(14),),,,(21nccc000返回611111121122211,,.jjnnjjnnnnjjnnnnacacacbacacacbacacacb得分别乘以上等式两边用,,,,21njjjAAA1111111111212222222111,,.jjjjnjnjjjjjnjnjnnjnjnjjnnnjnnnjaAcaAcaAcbAaAcaAcaAcbAaAcaAcaAcbA将以上n个恒等式相加,就有返回7100,jnjcDccD.jjDcD即,0D(1,2,,).jjDcjnDnkkjknnnkkjkjjnkkjkAacAacAac11111)()()(1122.jjnnjbAbAbA根据定理一及其推论,上式为且解为只有唯一解故,)14(.,,,2211DDxDDxDDxnn证毕.返回8用克莱姆法则解线性方程组时,必须具备两个条件:注意1.未知数个数=方程个数;2.系数行列式≠0.返回9齐次线性方程组:000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(18)定理三.若齐次线性方程组(18)有非零解,则(18)的系数行列式D=0.证明:反证.若D≠0,由克莱姆法则知(18)只有零解.矛盾!.0D证毕.二、齐次线性方程组有非零解的充要条件返回10註:由定理三可知,方程组(18)的系数行列式D=0是方程组(18)有非零解的必要条件.在第四章将会看到,D=0也是齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件.齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件是系数行列式D=0.说明:(1).D≠0(18)有唯一解,即零解..01nxx(3).(18)有非零解.0D(有无穷多组解).综合上述,得到:(2).(18)有零解:返回11例1.解线性方程组123123412342345,21,22,233.xxxxxxxxxxxxxx解:3210112111120111D12cc13cc3210121113120001返回1232112113131rr32rr3212404102441)1(13180,.有唯一解又因为15110111118,22113123D21510211136,12110323D返回13:方程组的解为31150211136,12210133D41115211118.12120123D121234341,2,2,1.DDxxDDDDxxDD返回14例2.(),(1)1,(1)9,(2)3.fxfff求一个二次多项式使得解:2().fxaxbxc设(1)1,(1)9,(2)3,fff由1,9,423.abcabcabc得其系数行列式返回1511110011112060,421423D所以有唯一解.又因为111191118,321D211119130,431D31111196.423D返回163123,5,1.DDDabcDDD故所求多项式为2()351.fxxx例3.设齐次线性方程组0,0,0xyzxyzxyz?,为何值试问有非零解?),:(有非零解取何值时试问或返回170,0,0xyzxyzxyz11110,11.0)1)(2(2即.1221或.,12非零解所给齐次线性方程组有时或故解:因为所给齐次线性方程组有非零解,所以其系数行列式