(两个重要极限)教案

1高等数学课程教案授课题目§2.6两个重要极限主讲人刘艳授课时间2013年11月9日课时安排两课时教学目的：（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。教学重点、难点重点：两个重要极限公式及其变形式难点：两个重要极限的灵活应用授课类型：理论课教学方式：讲授教学手段：多媒体及板书结合教学过程备注回顾：说出函数极限的四则运算法则。BAxgxfxgxfBxgAxf)(lim)(lim)]()(lim[,)(lim,)(lim:1则设法则BAxgxfxgxfBxgAxf)]([lim)]([lim)]()(lim[,)(lim,)(lim2则：设法则BAxgxfxgxfBBxgAxf)(lim)(lim)()(lim,0,)(lim,)(lim3则且：设法则新课：一、问题的提出“00型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解去零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“00型”都可以用这两种方法解决呢？问题：如何求xxxsinlim0？教师引导，学生回忆口述提出问题，引发学生兴趣2准则1（夹逼定理）设函数)(),(),(xhxgxf在0x的某一邻域),(0xU内满足)()()(xhxfxg且有极限Axhxgxxxx)(lim)(lim00，则有Axfxx)(lim0例1求0limsinxx解由题意，当02x时，0sinxx，因为0lim0xx，由定理得0limsin0xx例2.求xxcoslim0解由题意2)2(22sin2cos10222xxxx，因为02lim20xx，由定理得，0)cos1(lim0xx，即1coslim0xx。例3求)12111(lim222nnnnn解11111112111111222222222nnnnnnnnnnnnn即11211122222nnnnnnnnn因11lim,1lim22nnnnnnn所以由定理得1)12111(lim222nnnnn。。一、第一个重要极限0sinlim1xxx．证如右图，作单位圆O,无穷多项无穷小量的和ODACB1x3设圆心角AOBx(0)2x,过点A作圆O的切线，交0B延长线于点C，过点B作BDOA，交OA于点D，于是，得sinxBD，tanxAC因为△AOB的面积圆扇形AOB的面积△AOC的面积，所以111sintan,222xxx(过程中注意互动，提问扇形面积的计算)即sinsintan1cosxxxxxx由偶函数性质，02x时也成立。又0limcos1xx，0lim11x，由夹逼准则，即得0sinlim1xxx注意：(1)这个重要极限主要解决含有三角函数、反三角函数的“00型”的极限。(2)为了强调此极限的一般形式,我们把它形象地写成[]0sin[]lim1[]，等式中的“[]”内的变量必须完全相同且趋于0。例1求0sin3limxxx解30000sin3sin3sinsinlimlim33lim3lim33txxxxtxxttxxtt令例2求0tanlimxxx解0000tansin1sin1limlim()limlim1.coscosxxxxxxxxxxxx例3求201coslimxxx解222222000022sinsinsin1cos1111222limlimlimlim()1.2222()22xxxxxxxxxxxx例4求0arcsinlimxxx解令arcsintx,则sintx,当0x时,有0t.于是由复合函数的极限运算法则得互动引导学生从图中观察特点对重要极限理解的注意事项通过例子加深对重要极限变形理解400arcsinlimlim1.sinxtxtxt例5求1limsinxxx解令1tx.当x时，0t.01sinlimsinlim1.xttxxt例6求sinlimxxx解令tx,则sinsin()sinxtt.当0x时，0t.0sinsinlimlim1.xtxtxt例7求0sin4lim11xxx解00sin4sin4limlim4(11)4128411xxxxxxx.练习：求下列极限：①xxx5sinlim0②xxx3tanlim0③xxx3tan5sinlim0④202cos1limxxx小结：1．正确、灵活地运用公式1sinlim0xxx。2．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。3.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求0sinlimxxx。定义1：设有数列nyfn，如果对任何正整数n，恒有1fnfn，则fn为单调增加数列；定义2：如果对任何正整数n，恒有1fnfn，则fn为单调减少数列。定义3：如果存在两个常数m和MmM，使对任何正整数n，恒有mfnM，则fn为有界数列。通过练习巩固对第一个重要极限的掌握理解单调数列的概念5准则II单调有界数列必有极限例如，1nyn：1111,,,,234可看出，ny单调减少，且0ny，所以，limnny存在，1limlim0nnnyn。二、第二个重要极限（2）01lim1enxn证明下证这个极限是存在的。设11nfnn。先证明fn是单调增加的。根据二项式定理，有11nfnn2311211111!2!3!nnnnnnnnn1211!nnnnnnnn11111211111!2!3!nnn1121111!nnnnn同理有11111nfnn11111211111!2!13!11nnn1121111!111nnnnn1121111!111nnnnn比较上面两个展开式的各项，除前两项相等外，从第三项开始，1fn的每一掌握第二个重要极限6项都大于fn的对应项，而且1fn还多出一个正的尾项。因而11,2,3,fnfnn即fn单调增加.再证明fn是有界的：1111112!3!!!fnkn因为1!22kkk，所以用12k代替上式分母中的!k，得2111111112222knfn111121331212nn由此可见，不论n多么大，fn总小于3，即fn有上界.因此，极限1lim1nnn一定存在。这个极限是个无理数，用字母e表示，即1lim1ennn注：（1）类型：1型（2）等价形式ettt10)1(lim（3）推广形式：10lim1exxx.例1求2lim1xxx解222022222e)21(lim)21(lim)21(lim)21(limxxxxxxxxxxxx例2求0lim12xxx通过例题加深对第二7解21122000lim12lim12lim12exxxxxxxxx例3求xxxx3)1(lim解3333])11[(lim)11(lim)1(limexxxxxxxxxx例4计算xxx)1ln(lim0解xxx)1ln(lim0＝)1ln(1lim0xxx＝xxx10)1ln(lim练习：（1）xxx)51(lim（2）xxxx)32(lim小结：理解两个准则：夹逼准则、单调有界准则熟练掌握两个重要极限：0sinlim1xxx，1lim(1)xxex及其变形个重要极限的掌握总结本堂课内容三、作业：P93习题二(A).23（1）（3）（5）（7）24（1）（3）（5）作业设计