2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题-共26页

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：07033001所属学校（请填写完整的全名）：吉林师范大学博达学院参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略问题，通过提取题目中的信息，利用拱点的概念、B样条函数逼近的统计定位方法、非线性规划问题及哈密尔顿函数为理论基础进行了完整的建模工作。首先，通过建立坐标系结合物理学运动公式求解出了近月点与远月点的位置及相应的速度；在此基础上，利用B样条函数逼近的方法确定了嫦娥三号的着陆轨；最后通过分解着陆过程并利用非线性规划问题及哈密尔顿函数确定着陆阶段的最优控制策。针对问题一，利用拱点的概念及物理学中天体的运动的方程先求解出了嫦娥三号在近月点和远月点得速度大小分别为：1692.2m/s、1613.9m/s及方向为运行轨道方向的切线方向，并利用复平面上建立坐标系的方法建立了极坐标，运用椭圆轨道方程进而得出了近月点与远月点的位置分别为：，)10013.17520183，（)10013.183703，（针对问题二，采用B样条函数逼近的运动学统计定位方法确定了在着陆弧段上任意时刻的位置方程，从而刻画出了嫦娥三号的着陆轨道，并用matlab对轨迹进行了模拟。在6个阶段的最优控制策略上，先通过直角坐标系得出质心的运动方程，再通过对6个阶段初始条件和终端状态的分解，利用非线性规划问题求解哈密尔顿函数，得出性能指标（耗燃量）的最小值为：382.6531kg，从而确定了最优控制策略。针对问题三，对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。通过对月球半径、陨石坑对嫦娥三号着陆所需燃料及轨道的影响、着陆过程中消耗燃料对嫦娥三号运行质量的影响三个方面进行了误差分析，合理解释了所求数据与实际数据之间的误差。又通过对问题二所采用的B样条函数逼近方法中的参数进行敏感性分析，得出模拟着陆轨道的最佳节点数。关键词：拱点复平面建立坐标系B样条函数非线性规划哈密尔顿函数2一、问题重述1.1引言航空航天技术对一个国家的综合国力发展具有重要的战略意义，一直是世界各国重点建设的内容。中国的航空航天技术创建于1956年，50年来，在中国人民的努力下取得了伟大成就，为国家的科技发展、经济建设和国家安全作出了巨大贡献。嫦娥三号是我国探月工程第二期的第二颗月球探测器，在此之前，我国已成功实施了探月的一期工程，发射了嫦娥一号，并发射了探月工程二期的嫦娥二号探测器，为嫦娥三号的成功发射打下了坚实的基础。嫦娥三号的软着陆，与嫦娥一号和嫦娥二号不同的是，嫦娥三号使用了先进大推力变推力发动机。嫦娥三号使用了专门研制的1500～7500N变推力发动机作为推进系统的主发动机，这台发动机不仅用于完成嫦娥三号直接奔月轨道飞行期间的中途修正、近月制动和变轨任务，还用于嫦娥三号的软着陆。可见，嫦娥三号的软着陆过程非常复杂，变推力主发动机在其中起到了至关重要的作用，也是嫦娥三号研制的主要难点之一。1.2问题的提出要保证嫦娥三号能够准确的实现软着陆，其关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道从近月点至着陆点，其过程共经历6个阶段，要求满足每个阶段所在关键点的状态，并尽量减少着陆过程的燃料消耗。其着陆点大致位置：19.51W，44.12N，海拔-2641m。为了更好的找到嫦娥三号软着陆的轨道设计与控制策略，本文依次提出以下的几个问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小和方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对设计的着陆轨道和控制策略做出相应的误差分析和敏感性分析。二、模型假设1.月球引力场均匀。2.月球自转对嫦娥三号的着陆无影响。3.嫦娥三号运行的轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆。4、月球的形状扁率对嫦娥三号的着陆轨道无影响。3三、符号说明在近月点时的速度在远月点时的速度av半主轴长a椭圆轨道离心率e月球标准重力参数值远月点到月球球心的距离ar近月点到月球球心的距离br万有引力常数G月球质量M嫦娥三号运行质量m四、问题分析问题一：问题要求确定近月点与远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度大小和方向。首先，可以确定嫦娥三号近月的运动轨迹是一个椭圆，其中把月球球心作为椭圆长轴负半轴的焦点，则距离焦点较近的长轴交点为近月点，距离焦点较远的长轴交点为远月点。利用椭圆运动的天体方程，可求出嫦娥三号在近月点及远月点的相应速度。再以月球球心为坐标原点建立极坐标，通过建立常微分方程并通过matlab软件进行求解，确定了嫦娥三号在近月点及远月点的相应位置。问题二：由问题一解出的准备着陆的位置和着陆的6个阶段的运动特点，可以推算出这6个阶段关键点的运动状态及大致位置，再利用B样本函数逼近的统计定位方法得出着陆轨迹上任意时刻探测器的位置，从而模拟出了嫦娥三号的着陆轨道。在最优控制策略上，本文采用非线性规划求解月球软着陆最优控制中的两点边值问题，构造性能指标函数，由哈密尔顿函数取极小值的思想得出最优着陆曲线，进而对函数进行积分求得最终消耗燃料，即最少燃料。问题三：通过对月球半径、陨石坑对嫦娥三号着陆所需燃料及轨道的影响、着陆过程中消耗燃料对嫦娥三号运行质量的影响三个方面进行了误差分析，合理解释pv4了所求数据与实际数据之间的误差。同时，通过对问题二所采用的B样条函数逼近方法中的参数进行敏感性分析，得出模拟着陆轨道的最佳节点数。五、模型的建立与求解5.1问题一的建模与解答5.1.1嫦娥三号在近月点及远月点相应速度的大小和方向Ⅰ模型的建立通常，可以把月球作为椭圆的焦点，把与焦点（月球）距离较近的交点叫做近月点，把与焦点（月球）距离较远的交点叫做远月点，如图1所示：1.拱点拱点在天文学上的意义是在椭圆轨道上运行的天体最接近或最远离它的引力中心，通常也就是系统的质量中心的点。最靠近引力中心的点称为近拱点（也就是本文中的近月点）而距离最远的点就称为远拱点（也就是本文中的远月点）连接近拱点和远拱点的直线称为拱点线，是椭圆的长轴，也是椭圆内最长的线段。近拱点（近月点）：在最短距离处有最快的速度即（4）aeevp)1()1(远拱点（远月点）：在最远距离上有最慢的速度即5（5）aeeva)1()1(其中。是标准重力参数值是半主轴，a2.轨道离心率（6）121papaparrrrrre在太空动力学上，一个天体的标准重力参数是万有引力常数和它质量之积即（7）GM其中：远月点到月球中心的距离；近月点到月球中心的距离。arprⅡ模型的求解联立（4）（6）（7）式可得近月点（近拱点）的速度：（8）arGMrvpap联立（5）（6）（7）式可得远月点（远拱点）的速度：（9）arGMrvapa通过matlab计算（程序详见附录）可得：smvp/106922.13smva/106139.13于是，可得知嫦娥三号在近月点的速度为，方向是沿运smvp/106922.13动的切线方向；嫦娥三号在远月点的速度为，方向是沿运smva/106139.13动切线方向。5.1.2着陆准备轨道近月点与远月点的位置Ⅰ模型的建立嫦娥三号经过轨道修正、减速制动、近月制动，从而进入环月轨道。环月轨道可以确定为是个椭圆轨道（如图2所示）。我们要确定近月点与远月点的位置，就必须研究嫦娥三号软着陆过程中的主减速过程。6在此，我们要确定嫦娥三号着陆准备轨道近月点与远月点的位置，就可以先确定嫦娥三号运动的轨迹方程。通过轨迹方程的求出，从而确定近月点与远月点的具体位置，进而得到嫦娥三号着陆准备轨道近月点与远月点的位置。设月球中心所在的位置为复平面的原点O，在时刻t，嫦娥三号位于所表示的点P。这里均为t的函数，分别表示的iretZ)()(),(ttrr)(tZ模和辐角。于是嫦娥三号的速度为：]1[)(dtdirdtdredtdireedtdrdtdZiii加速度为：dtddtdrdtdridtdrdtrdedtZdi22222222（10）月球对嫦娥三号的引力依据物理学中的万有引力定律，大小为2rmMGF引方向指向月球的中心O，故有，7iermMGF2引其中M为月球质量，m为嫦娥三号质量。依据牛顿第二定律我们可得（11）222dtZdmermMGi将公式（10）带入（11），然后比较其实部与虚部就得到：22222220()ddrdrdtdtdtdrdMGrdtdtr这是两个未知函数的二阶微分方程组。在确定某一卫星轨道时，需要加上定解条件。假设当t=0时，卫星正处于远月点，而远月点位于正实轴上，距原点O为卫星的速度为那么就有初值条件：0r0v0000000|0|0||rvdtddtdrrrtttt因此问题转化为求解带初值问题的微分方程组为：0000000222222|0|0||)(02rvdtddtdrrrrMGdtdrdtrddtddtdrdtdrtttt8又将两边同乘以r即得：0222dtddtdrdtdr（12）12cdtdr其中。001vrc这样有向线段在时间内扫过的面积等于port22112tcdtdtdrttt这正是开普勒第二定律，从月球指向嫦娥三号的线段在单位时间内扫过的面积相等。将（12）式代入222)(rGMdtdrdtrd得：2321221rMGrcdtrd于是我们可以得到嫦娥三号运行较为简单形式的数学模型：0|0||000021232122tttdtdrrrrcdtdrMGrcdtrd对上式进行化简得到：)cos(10epr其中A和是待定参数；；。0ApeMGcp219上式即为嫦娥三号的轨道方程，是一条平面二次曲线。由于嫦娥三号绕月球运行，故必有0〈〈1.由于r在t=0时取到最大值（远月点），意味着此e0r时函数取到最大值1，于是有：)cos(0（13）001,0rpe从而轨迹方程为：cos1epr（14）对于嫦娥