控制工程-矩阵论论文

编号:66南京邮电大学研究生课程论文矩阵论学生姓名：**********学号：121605*****专业班级：控制工程手机号码：18805*******矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用摘要：控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(tx、)(ty来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数目录一、矩阵论的发展历史..........................................................................1二、矩阵函数的定义及其计算..............................................................12.1矩阵函数的定义..................................................................................12.2矩阵函数的计算..................................................................................22.2.1利用Hamilton-Clayey定理..............................................................22.2.2利用待定系数法...............................................................................32.2.3利用相似对角化法...........................................................................3三、矩阵函数的应用..............................................................................43.1问题的提出..........................................................................................43.2问题的求解..........................................................................................53.2.1矩阵指数的基本性质.......................................................................53.2.2状态转移矩阵t的几种计算方法.................................................6四、应用小结..........................................................................................9五、总结与感悟......................................................................................9六、参考文献........................................................................................101一、矩阵论的发展历史矩阵作为一种重要的代数工具，其出现的历史可以追溯至公元前，然而矩阵真正成为一个独立的概念并被加以研究的历史开始于19世纪50年代。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855年，英国数学家凯莱(Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。1878年，德国数学家弗罗伯纽斯(Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个λ矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。二、矩阵函数的定义及其计算2.1矩阵函数的定义设幂级数0kkkza的收敛半径是R，且当Rz时，幂级数收敛于zf，即Rzzazfkkk0)(如果nnCA，满足RA)(,则称收敛矩阵幂级数0kkkAa的和为矩阵函数，记为)(Af，即20)(kkkAaAf根据这个定义，可以得到在形式上和数学分析中一些函数类似的矩阵函数。如Ae，Asin，Acos，)ln(AI)(!10nnkkACAAke，)()!12()1(sin120nnkkkCAAkA，)()!2()1(cos20nnkkkCAAkA，)1)((1)1()ln(10AAkAIkkk分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数，它们均绝对收敛。2.2矩阵函数的计算以上利用收敛矩阵幂级数的和定义了矩阵函数)(Af，在具体应用中，要求将)(Af所代表的具体矩阵求出来，即求出矩阵函数的值。下面将介绍几种求矩阵函数的方法：2.2.1利用Hamilton-Cayley定理利用Hamilton-Cayley定理找出矩阵方幂之间的关系，然后化简矩阵幂级数，求出矩阵函数的值。例1：已知0110A，求Ate。解：A的多项式12AI，由Hamilton-Cayley定理知：02IA，即IA2，AA3，IA4，AA5，，即IAkk)1(2，),2,1()1(12kAAkk，故kkkAttAke0!1=Itt!4!2142+Attt!5!3533=Itcos+Atsin=ttttcossinsincos2.2.2利用待定系数法利用矩阵的Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，他需要求Jordan标准型J和交换矩阵P。根据最小多项式求矩阵函数的一般方法：（1）求出最小多项式mssmmm)()()()(2211，siimm1，或者特征多项式nsrnnm)()()()(2211，siinn1；（2）形式上写出待定多项式101110)(mimmiiccccg；（3）求解关于c0，c1，，cm-1的线性方程组),,2,1;,2,1,0()()()()(sikfgikik，这里)()(ikg为)(g的k阶导数在i点的值。（4）求出)(Ag，即可得)()(AfAg。从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般的化零多项式也可以，其中以特征多项式最为方便。2.2.3利用相似对角化计算设nnCA是可对角化的矩阵，则存在n阶可逆矩阵P，使得),,,(211ndiagAPP则有10010)()(PaPPPaAaAfkkkkkkkkk=100021,,,PaaaPdiagkkkknkkkkk=121,,,PfffPdiagn从而121,,,PtftftfPdiagAtfn4三、矩阵函数的应用3.1问题的提出线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。线性定常系统齐次状态方程为tAxtx1-3其中，x是n维状态向量；A为nn系数矩阵。设初始时刻00t，系统的初始状态00xtx。仿照标量微分方程求解的方法求方程1-3的解。设方程1-1的解为t的向量幂级数形式，即)(tx=kktbtbtbtbb3322102-3式中，,2,1,0ibi为n维向量。式2-1代入方程1-1得kkkktbtbtbbbAtkbtbtbb33221012321323-3既然式2-3是方程1-3的解，则式3-3对任意的t都成立。因此，式3-3的等式两边t的同次幂项的系数应相等，有0!11103!31231302!21121201bAAbbbAAbbbAAbbAbbkkkkk4-3Ⅰ.当0t时，由式2-3可得到00xb5-3将式4-3和式5-3代入式2-3，得到齐次状态方程的解0!122!21xtAtAAtItxkkk6-3上边右边括号内的级数是nn矩阵指数函数，记成Ate，即kkkAttAtAAtIe!122!217-3所以式6-3可写成50xetxAt8-3Ⅱ.如果初始时刻00t，初始状态为0tx，则齐次状态方程的解为00xetxttA9-3由上式可知，系统在状态空间的任一时刻t的状态tx，可视为系统的初始状态0tx通过矩阵指数函数0ttAe的转移而得到的。因此，矩阵指数函数0ttAe又称为状态转移矩阵。从上面的分析看，求状态方程的解tx，关键是求矩阵指数Ate。3.2.问题求解3.2.1矩阵指数的基本性质在介绍求矩阵指数Ate的方法之前，先介绍Ate的一些主要性质和几个特殊的指数函数：（1）0!kkkAtktAe，该无穷级数在有限时间时绝对收敛的（2）AtAtAeedtd（3）2121AtAtttAeee（4）AtAtee1（5）若BAAB，则tBABtAteee；若BAAB，则tBABtAteee（6）若P为非奇异矩阵，A通过非奇异变换成对角阵