(课件)函数的单调性和最值(1)

函数的单调性和最值第一课时初中学习了一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象和性质当𝑘0时，直线向右上，即函数值𝑦随𝑥的增大而当𝑘0时，直线向右下，即函数值𝑦随𝑥的增大而增大减小思考讨论：(1)如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名思考讨论：如图，是函数𝑓𝑥(𝑥∈−6，9)的图象，说出在各个区间函数值𝑓𝑥随𝑥的值的变化情况.在区间−6，−5、−2，1、3，4.5、[7，8]上，函数值𝑓𝑥都是随𝑥的值的增大而增大；在区间−5，−2、1，3、4.5，7、[8，9]上，函数值𝑓𝑥都是随𝑥的值的增大而减小.一般地，在函数𝑦=𝑓𝑥定义域内的一个区间𝐴上，如果对于任意的𝑥1，𝑥2∈𝐴，当𝑥1𝑥2时，都有𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)，那么就称函数𝑦=𝑓𝑥在区间𝐴上是增函数或递增的；如果对于任意的𝑥1，𝑥2∈𝐴，当𝑥1𝑥2时，都有𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)，那么就称函数𝑦=𝑓𝑥在区间𝐴上是减函数或递减的。注意：①函数𝑦=𝑓𝑥在区间𝐴上是增函数（减函数），那么就称函数在区间𝐴上是单调函数，或称在区间𝐴上具有单调性，区间𝐴称为函数𝑦=𝑓𝑥的单调区间。如：一元二次函数𝑓𝑥=𝑥2在区间[0，+∞)上是单调增函数（单调递增），区间[0，+∞)是函数𝑓𝑥=𝑥2的单调增区间注意：②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；③“函数在区间𝐴上单增”与“函数的单增区间是𝐴”两种叙述含义是不同的.如：函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑎𝑥−1的单调递增区间为[2，+∞)，则对称轴𝑎=2；函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑎𝑥−1在区间[2，+∞)上单调递增，则对称轴𝑎≤2.注意：④函数𝑦=1𝑥的定义域为−∞，0∪(0，+∞)，由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是−∞，0∪(0，+∞)”，而只能说“函数在区间−∞，0和区间(0，+∞)上都是递减的”.试一试例1.设𝑓𝑥=1𝑥(𝑥0)，画出函数𝑓𝑥+3(𝑥−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性.解：函数𝑓𝑥+3=1𝑥+3(𝑥−3)，其图象是函数𝑓𝑥=1𝑥的图象向左平移3个单位得到，如图，该函数在区间(−∞，−3)上单调递减。试一试例2.根据函数图象直观判断𝑦=|𝑥−1|的单调性解：函数𝑦=|𝑥−1|=1−𝑥𝑥≤1𝑥−1𝑥1，画出该函数的图象，如图，函数在区间(−∞，1]上是减函数，在区间[1，+∞)上是增函数.试一试例3.判断函数𝑓𝑥=−3𝑥+2的单调性，并给出证明.解：画出函数𝑓𝑥=−3𝑥+2的图象，如图，可以看出函数在𝑅上是减函数.下面用定义证明这一单调性.任取𝑥1，𝑥2∈𝑅，且𝑥1𝑥2，则𝑥1−𝑥20𝑓𝑥1)−𝑓(𝑥2=−3𝑥1+2−−3𝑥2+2=−3𝑥1−𝑥20，即𝑓𝑥1)𝑓(𝑥2所以函数𝑓𝑥=−3𝑥+2在𝑅上是减函数.思考讨论（综合练习）：(1)二次函数𝑓𝑥=𝑥2+2𝑎𝑥+2在区间[1，2]上单调，则实数𝑎的取值范围；(2)设函数𝑓𝑥=𝑥2+1−𝑎𝑥，证明：当𝑎≥1时，函数𝑓𝑥在区间[0，+∞)上是减函数；(3)已知𝑎0，函数𝑓𝑥=𝑥3−𝑎𝑥是区间[1，+∞)上的单调函数，求实数𝑎的取值范围；(4)设实数𝑡∈𝑅，函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥−1在区间[𝑡，𝑡+1]上的最小值是𝑔(𝑡)，求𝑔(𝑡)并画出𝑦=𝑔(𝑡)的图象.(1)二次函数𝑓𝑥=𝑥2+2𝑎𝑥+2在区间[1，2]上单调，则实数𝑎的取值范围；提示：二次函数𝑓𝑥=𝑥2+2𝑎𝑥+2，图象抛物线开口向上，对称轴𝑥=−𝑎函数在区间[1，2]上单调，则−𝑎≤1或−𝑎≥2，所以𝑎的取值范围为𝑎≤−2或𝑎≥−1.(2)设函数𝑓𝑥=𝑥2+1−𝑎𝑥，证明：当𝑎≥1时，函数𝑓𝑥在区间[0，+∞)上是减函数；提示：设𝑥1，𝑥2∈[0，+∞)，且𝑥1𝑥2𝑓𝑥1−𝑓𝑥2=𝑥12+1−𝑎𝑥1−𝑥22+1−𝑎𝑥2=𝑥12+1−𝑥22+1−𝑎𝑥1−𝑥2=𝑥12−𝑥22𝑥12+1+𝑥22+1−𝑎𝑥1−𝑥2=𝑥1−𝑥2(𝑥1+𝑥2𝑥12+1+𝑥22+1−𝑎).因为𝑥1𝑥2，所以𝑥1−𝑥20，𝑥12+1+𝑥22+1𝑥1+𝑥2，𝑥1+𝑥2𝑥12+1+𝑥22+11，𝑎≥1，所以𝑥1+𝑥2𝑥12+1+𝑥22+1−𝑎0.𝑓𝑥1−𝑓𝑥20.即𝑓𝑥1𝑓𝑥2，函数𝑓𝑥在区间[0，+∞)上是减函数.(3)已知𝑎0，函数𝑓𝑥=𝑥3−𝑎𝑥是区间[1，+∞)上的单调函数，求实数𝑎的取值范围；提示：任取𝑥1𝑥2，且𝑥1，𝑥2∈[1，+∞)𝑓𝑥1−𝑓𝑥2=𝑥13−𝑎𝑥1−𝑥23−𝑎𝑥2=𝑥13−𝑥23−𝑎𝑥1−𝑥2=𝑥1−𝑥2(𝑥12+𝑥22+𝑥1𝑥2−𝑎).𝑥1，𝑥2∈[1，+∞)，得𝑥12+𝑥22+𝑥1𝑥23根据题意，𝑥12+𝑥22+𝑥1𝑥2−𝑎的符号恒正或恒负，故𝑎≤3所以实数𝑎的取值范围是(0，3].(4)设实数𝑡∈𝑅，函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥−1在区间[𝑡，𝑡+1]上的最小值是𝑔(𝑡)，求𝑔(𝑡)并画出𝑦=𝑔(𝑡)的图象.提示：画出函数𝑓𝑥=𝑥2−2𝑥−1的图象，如图，抛物线对称轴为𝑥=1当𝑡+11时（𝑡0），函数在区间[𝑡，𝑡+1]上单调递减，𝑓𝑥𝑚𝑖𝑛=𝑔𝑡=𝑓𝑡+1=𝑡2−2；当𝑡≤1且𝑡+1≥1时（0≤𝑡≤1），函数在区间[𝑡，𝑡+1]上的最小值为𝑓𝑥𝑚𝑖𝑛=𝑔𝑡=𝑓1=−2；当𝑡1时，函数在区间[𝑡，𝑡+1]上单调递增，𝑓𝑥𝑚𝑖𝑛=𝑔𝑡=𝑓𝑡=𝑡2−2𝑡−1.综上，𝑔𝑡=𝑡2−2，𝑡0−2，0≤𝑡≤1𝑡2−2𝑡−1，𝑡1，𝑔𝑡=𝑡2−2，𝑡0−2，0≤𝑡≤1𝑡2−2𝑡−1，𝑡1，画出函数图象如图：方法点拨：函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。练习教材P60，练习1、2、3.作业教材P62，习题2—3：A组第1、2、3、4题