高一数学必修1教师用书：第四章-§1-函数与方程-1.1-利用函数性质判定方程解的存在(北师大)

第四章函数应用理解教材新知§1函数与方程把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.1利用函数性质判定方程解的存在给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？提示：方程的根为－3,1.问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？提示：交点为(－3,0)，(1,0)．问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？提示：相等．问题4：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？提示：在每一点两侧函数值符号异号．1．函数的零点(1)函数的零点：函数y＝f(x)的与称为这个函数的零点．(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程的解．2．零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是，并且在区间端点的函数值，即，则在(a，b)内，函数y＝f(x)零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．图像横轴的交点的横坐标f(x)＝0连续曲线符号相反f(a)·f(b)0至少有一个1．方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．f(a)·f(b)0只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图(2)．分别有4个零点和1个零点．3．函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，却不一定推出f(a)·f(b)0如图．[例1]求下列函数的零点．(1)y＝－x2－x＋20；(2)f(x)＝x4－1.[思路点拨]先因式分解，再确定函数的零点．[精解详析](1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4.故函数的零点－5,4；(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.[一点通]求函数的零点常用方法是解方程(1)一元二次方程可用求根公式求解．(2)高次方程可用因式分解法求根．1．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3，∴3a－b＝0，即b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.答案：0，－1解：(1)当a＝0时，由y＝－3(x－1)＝0，得x＝1；(2)当a≠0时，令y＝－(ax＋3)(x－1)＝0，得(x＋3a)(x－1)＝0，①若a＝－3，则(x－1)2＝0，得x＝1，②若a≠－3，则x＝－3a或x＝1.综上，a＝0或－3时，函数零点为1，a≠0且a≠－3时，函数零点为1，－3a.2．讨论函数y＝－(ax＋3)(x－1)的零点．[例2]判断下列函数有几个零点？(1)y＝ex＋2x－6；(2)y＝log2x－x＋2.[思路点拨]借助函数的单调性和图像解答．[精解详析](1)由于y1＝ex在R上单调递增，y2＝2x－6在R上单调递增，∴y＝ex＋2x－6在R上单调递增．又f(0)＝1＋0－6＝－50，f(3)＝e3＋6－6＝e30.∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一个零点；(2)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0.即求函数y＝log2x与y＝x－2图像交点个数．在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有2个交点．从而函数y＝log2x－x＋2有两个零点．[一点通]判断函数零点个数的方法主要有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．(2)用定理：零点存在性定理．(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．3．函数f(x)＝x－4x的零点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：令f(x)＝0，即x－4x＝0.∴x＝±2.故f(x)的零点有2个．答案：C4．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－12)·f(12)0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内()A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：∵f(x)在[－1,1]上是增函数且f(－12)·f(12)0，∴f(x)在[－12，12]上有唯一实根，∴f(x)在[－1,1]上有唯一实根．答案：C5．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)1，且f(6)1，则f(x)＝1的根的个数为________．解析：设g(x)＝f(x)－1，由f(－6)1及f(6)1，得[f(－6)－1][f(6)－1]0，即g(－6)g(6)0，因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)内有零点．又当a0时，g(x)单调递增；当a0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数．故g(x)仅有一个零点．故方程f(x)＝1仅有一根．答案：1[例3]当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？[思路点拨]当a＝0，a0，a0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果．[精解详析](1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．(2)当a0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴f00，f10，f20，即10，a－2＋10，4a－4＋10，解得34a1.(3)当a0时，设方程的两根为x1，x2，则x1·x2＝1a0，x1，x2一正一负不符合题意．综上，a的取值范围为34a1.[一点通]解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．(2)结合草图考虑三个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系．(3)写出由题意得到的不等式．(4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意.这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．如f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)的两个零点为x1，x2(x1≤x2)，且k1x1≤x2k2.则Δ≥0，k1－b2ak2，fk10，fk20.6．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a≠0时，函数y＝ax2－x－1是二次函数．因为y＝ax2－x－1只有一个零点，所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a＝0，解得a＝－14.综上所述，a的值为0或－14.7．若把例题改为“方程的所有根为正数，求a的取值范围”应如何处理？解：当a＝0时，－2x＋1＝0，x＝12，符合题意．当a0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，∵方程的根分布在(0，＋∞)上．∴Δ≥0，1a0，f0＝10，即0a≤1.当a0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，∵方程的根分布在(0，＋∞)上，∴Δ≥0，1a0，舍去f00，综上所述，a的取值范围为[0,1]．1．判断函数零点个数的方法有以下几种：(1)转化为求方程的根，能直接解出．如一次、二次函数零点问题．(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点．(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定．(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点．2．函数的零点的作用：(1)解决根的分布问题．(2)已知零点的存在，求字母的范围．3．解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方面考虑：(1)二次函数的开口方向(2)判别式(3)对称轴(4)特殊点对应的函数值点击下列图片进入应用创新演练