2014级数学物理方程期末试题A评分参考-2014

武汉大学2014-2015学年度第一学期《数学物理方法》试卷评分参考一、（本题10分）解：1）（5分）辅助函数为：(,)BAwxtxAl（4分）定解问题变为00()(0,0)(2)0,0()()[()](2)txxxxtvDvfxxtvvBAvxxAl分2分分二、（本题10分）1）解：11(,)()()()22xatxatuxtxatxatda)()(0),(21taxtaxtdfda（4分）11sin()sin()cos22xtxtxtxtd()0()12xttxtdd（3分）=sin()xt212t（3分）三、（本题15分）写出下列物理问题的定解问题解：（6分）定解问题000()0(0,0)(3)0,00,0()(,)txxyyxxayybtuDuuxaybuuuuufxy分（1分）1分（1分）（9分）由0),(),(2yxvyxv，若令)()(),(yYxXyxv，得到()()0()()()0XxXxYyYy定解问题()()0(0)()0XxXxXXa本征值2na，本征函数()sinnnXxxa，),3,2,1(n（3分）定解问题()()()0(0)()0YyYyYYb本征值2mb，本征函数()sinmmYyxb，(1,2,3,)m（3分）二维波动问题的本征值和本证函数：本征值22nmab，本征函数sinsinnmxxab，),3,2,1(n（3分）四、（本题15分）解：一）1）分离变量(,)()()uxtXxTt代入泛定方程，得到'()()0()()0TtDTtXxXx2)本征值问题()()0(0)()0XxXxXX本征值22nnl，(1,2,3,)n本征函数()sinnXxnx，(1,2,3,)n（3分）3）关于)(tT满足的方程的解为DtnnneAtT2)(（2分）4）定解问题的通解；),(txu20sinnDtnnAenx（3分）5）由初始条件0(,0)sin()sin2nnuxAnxx得到210(2)nAAn定解问题的解为(,)uxt4Dtesin2x（3分）二）(,)duxtdx4Dte2cos2x=03,44x（2分）三）lim(,)0tuxt无源边界开放，与外界的接触为零度。（2分）五、（本题15分）1）将byaxeyxu),(代入Laplace方程得到，222(,)()0axbyuxyabe故220ab，即aib或者bia（3分）对应的解为(,)(cossin)axbybyuxyeebxibx或者(,)(cossin)axbyaxuxyeeayiay（3分）如(cossin)nnwzrninwLnzzwe等（2分）2）因22(,)xtuxtet，2222(,)xtuxtex故0xxtuu成立。（4分）若解2(,)xtuxte具有物理意义，则lim(,)tuxt有限，要求20，或者，当为复数时，要求2Re()0。（3分）六、（本题15分）解：1）定解问题为2100(,)0,00ttuDutRtuuT(4分)2）分离变量，令(,)()()utTtR，则2022222()()0()()()0mdTtkDTtdtdRdRkRdd)(R满足的方程的本征值问题（第一类齐次边界条件）22222()()()0()()0RRdRdRkRddRR有限本征值：00/mmkxR（0mx是0阶Bessel函数的第m个零点）本征函数：),2,1()(00mkJm（3分）3)关于()Tt满足的方程02()()()0mdTtDkTtdt其解为02()()mDktmmTtAe(3分)4）定解问题的通解为02())001(,)()mDktmmmutAeJk(2分)5)系数由初始条件确定：0001(,0)()mmmuAJkT100002011()1()2mmmATJkdJx00201002002000011102[()]22()()()()RmmmmmmmmTkJkTRTRJxkkJxxJx022()00000112(,)()()mDktmmmmTRuteJkxJx（3分）七、（本题20分）解：定解问题：球内221(,)01(,)cosrurrur球外221(,)01(,)cosrurrur（4分）球内定解问题的通解为)(cos),(0llllPrAru（2分）由边界条件1ru0(cos)lllAP22021cos[(cos)(cos)]33PP（2分）得到：02120(0,2)33lAAAl球内电位分布20212(,)(cos)(cos)33urPrP（2分）球外定解问题的通解为(1)0(,)(cos)llllurBrP（2分）由边界条件1ru0(cos)lllBP22021cos((cos)(cos))33PP得到：02120(0,2)33lBBBl球外电位分布0231121(,)(cos)(cos)33urPPrr（2分）球外2r时的电位分布211(2,)(cos)612uP211(3cos1)624(2,)dudcossin0sin200,,2最大值为min1(2,)28u最小值为maxmax1(2,0)(2,)4uu（2分）222cosGMUrrRR=0()(cos)nnnGMRPrr（2分）比值1.2)(~3MSSMSMrrMMUU（2分）