33时间序列分析

§3.3时间序列分析教学要求时间序列分析的基本原理趋势拟合方法平滑法趋势线法自回归模型季节变动预测移动平均法滑动平均法一、时间序列分析的基本原理（一）时间序列的概念时间序列时间序列的图示方法编制时间序列的意义重要概念时间序列，是要素（变量）的数据按照时间顺序变动排列而形成的一种数列，它反映了要素（变量）随时间变化的发展过程。时间序列（Timeseries）:在连续时点或连续时期上测量的观测值的集合。(补充)地理过程的时间序列分析，就是通过分析地理要素（变量）随时间变化的历史过程，揭示其发展变化规律，并对其未来状态进行预测。年份国内生产总值（亿元）年份国内生产总值（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7时间数列的要素之一：时间t时间数列的要素之二：变量a时间序列的要素1985-1998年中国人口数10000010500011000011500012000012500013000019851986198719881989199019911992199319941995199619971998年份人口数（万人）ta时间数列的图示方法1950-1998年中国水灾受灾面积(单位：千公顷）0500010000150002000025000300001950195219541956195819601962196419661968197019721974197619781980198219841986198819901992199419961998编制时间数列的意义1979-1998年中国国内生产总值环比指数10010110210310410510610710810911011111211311411511619791980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998年份环比指数（%）经济周期:循环性变动繁荣拐点繁荣拐点衰退拐点萧条拐点复苏拐点（二）时间序列的组合成份长期趋势（T）是指时间序列随时间的变化而逐渐增加或减少的长期变化的趋势。季节变动（S）是指时间序列在一年中或固定时间内，呈现出的固定规则的变动。循环变动（C）是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，又称景气循环变动(businesscyclemovement)。不规则变动（I）是指在时间序列中由于随机因素影响所引起的变动。1950-1998年中国水灾受灾面积(单位：千公顷）-50000500010000150002000025000300003500040000450001950195219541956195819601962196419661968197019721974197619781980198219841986198819901992199419961998循环变动C（Cyclical）不规则变动I（Irregular）季节变动S（Seasonal）长期趋势T（Trend）（三）时间序列的组合模型加法模型假定时间序列是基于4种成份相加而成的。长期趋势并不影响季节变动。若以Y表示时间序列，则加法模型为Y=T+S+C+I乘法模型假定时间序列是基于4种成份相乘而成的。假定季节变动与循环变动为长期趋势的函数。该模型的方程式为ICTYISTYICSTY（3.3.1）（3.3.2）二、趋势拟合方法(长期趋势分析)(一)平滑法(二)趋势线拟合法(三)自回归模型（一）平滑法时间序列分析的平滑法主要有三类：移动平均法设某一时间序列为y1，y2，…，yt，则t+1时刻的预测值为式中:为t点的移动平均值;n称为移动时距。)y(ynynyyyynyntttntttnjjtt1ˆ1ˆ11101tyˆ（3.3.3）滑动平均法其计算公式为式中:为t点的滑动平均值;l为单侧平滑时距。若l=1，则（3.3.4）式称为三点滑动平均，其计算公式为若l=2，则（3.3.4）式称为五点滑动平均，其计算公式为)(121ˆ11)1(lttttltlttyyyyyylytyˆ3/)(ˆ11ttttyyyy5/)(ˆ2112ttttttyyyyyy（3.3.4）（3.3.5）（3.3.6）通过平均每一个连续数列值来修匀时间数列的方法。移动/滑动平均法的概念某种商品零售量051015202530第一年第二年第三年第四年某种商品零售量051015202530第一年第二年第三年第四年三项滑动平均线移动平均法的计算奇数项移动偶数项移动1t2t3t4t5t6t7t原数列移动平均新数列原数列移动平均新数列滑动平均法的计算奇数项移动偶数项移动1t2t3t4t5t6t7t原数列滑动平均新数列原数列滑动平均移正平均新数列某种商品零售量051015202530第一年第二年第三年第四年某种商品零售量051015202530第一年第二年第三年第四年原数列三项滑动平均五项滑动平均四项滑动平均例题1表3.3.1给出了中国1990～1999年的农业总产值，试用移动平均法和滑动平均法分析其变化趋势。移动平均法滑动平均法三点移动五点移动三点滑动五点滑动------------------8301.26---------9412.4710329.968301.26---11943.5712865.729412.47---15695.6315705.0611943.5710329.9619481.7018645.815695.6312865.7222161.0021355.0819481.7015705.0623561.3323108.822161.0018645.824283.13---23561.3321355.08------23108.8---------序号年份农业总产值119907662.1219918157.0319929084.74199310995.55199415750.56199520340.97199622353.78199723788.49199824541.910199924519.111200024283.11990-1999农业总产值05000100001500020000250003000019881990199219941996199820002002年份农业总产值农业总产值三点移动平均五点移动平均三点滑动平均五点滑动平均使用移动/滑动平均法应注意的问题：•可以平滑修匀数列；•对于季节性数列，要采用4项或12项移动/滑动平均，方可平滑掉其季节波动；•一般的移动平均方法使原数列首尾各去除了若干项，因此不能用于外推预测；•当数列没有明显的长期趋势、季节变动和循环变动时，可以用此法进行预测。指数平滑法①一次指数平滑α为平滑系数。一般时间序列较平稳，α取值可小一些，一般取α∈（0.05,0.3）；若时间序列数据起伏波动比较大，则α应取较大的值，一般取α∈（0.7,0.95）。ttnjjtjtyyyyˆ)1()1(ˆ101（3.3.7）②高次指数平滑法一次指数平滑法不能跨期预测，对其进行改进，可以得到能够跨期预测的高次指数平滑法。令为一次指数平滑值，即Tbayttktˆ（3.3.4）（3.3.8）（3.3.9）)1(tS▲二次指数平滑法的预测公式为)1(1)1()1(tttSyS对上式再作指数平滑，可得二次指数平滑值，即)2(tS)2(1)1(1)2()1(ttSSS（3.3.5）（3.3.6）在（3.3.6）式中，T代表从基期t到预测期的期数，)2()1(2tttSSa)2()1(1tttSSb（3.3.7）对二次指数平滑再作一次指数平滑，可得三次指数平滑公式▲三次指数平滑法的预测公式为式中，2ˆTcTbaytttkt)3(1)2(1)3()1(ttSSS)3()2()1(33ttttSSSa)3()2()1(2)34()45(2)56()1(2ttttSSSb)3()2()1(222)1(2ttttSSSc（3.3.9）（3.3.10）（3.3.11）（3.3.12）例2：某城市近6年（1994～1999年）用水量（106t）数据如表3.3.2所示。试用指数平滑法预测该城市2000年的用水量。年份199419951996199719981999用水量211.30260.18209.10248.79241.00250.00用水量05010015020025030019931994199519961997199819992000用水量解：取α=0.5，将表3.3.2中的数据代入公式（3.3.7）计算：=240.85（106t）预测结果表明，到2000年该城市的用水数量将达到240.85（106t）。234(2000)(1999)(1998)(1997)(1996)(1995)ˆ(1)(1)(1)(1)yyyyyy趋势线拟合法：用某种趋势线（直线或曲线）来对原数列的长期趋势进行拟合。其主要作用是进行外推预测。直线趋势方程：btay曲线趋势方程：taby2ctbtay（二）趋势线法趋势线拟合法的基本程序判断趋势类型计算待定参数利用方程预测判断趋势类型绘制散点图分析数据特征当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以配合直线方程。当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以配合二次曲线方程。btaytyi一阶差分yi-yi-11234na+ba+2ba+3ba+4ba+nbbbbb2ctbtaytyi一阶差分二阶差分1234na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16ca+nb+n2cb+3cb+5cb+7cb+(2n-1)c2c2c2ctabytyiyi/yi-11234nabab2ab3ab4abnbbbb2tbtatytbnaybtyattnyttynb22)(用最小二乘法求a、b的公式：直线趋势方程参数的计算btay自相关性判断①时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系，对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。②测度:设y1，y2，…，yt，…，yn，共有n个观察值。把前后相邻两期的观察值一一成对，便有（n－1）对数据，即(y1，y2)，(y2，y3)，…，(yt，yt+1)，…，(yn-1，yn)。（三）自回归模型其一阶自相关系数r1为1111211211111)()())((ntntttttntttttyyyyyyyyr二阶自相关系数r2为2121222221222)()())((ntntttttntttttyyyyyyyyrk阶自相关系数为kntkntktktttkntktktttkyyyyyyyyr11221)()())((自回归模型的建立常见的线性自回归模型：①一阶线性自回归预测模型为②二阶线性自回归预测模型为③一般地，p阶线性自回归模型为在以上各式中，为待估计的参数值，它们可以通过最小二乘法估计获得。tttyy110ttttyyy22110tptpttyyy