概率论与数理统计教程(华东师范大学)

第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第1页概率论与数理统计茆诗松、程依明、濮晓龙研制第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第2页§1.1随机事件及其运算§1.2概率的定义及其确定方法§1.3概率的性质§1.4条件概率§1.5独立性第一章随机事件与概率第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第3页2.随机现象1.1.1随机现象：自然界中的有两类现象1.确定性现象•每天早晨太阳从东方升起;•水在标准大气压下加温到100oC沸腾;•掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？•一天内进入某超市的顾客数;•某种型号电视机的寿命;§1.1随机事件及其运算第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第4页1.1.1随机现象•随机现象：在一定的条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象.•特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.•随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性.第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第5页1.随机试验(E)——对随机现象进行的实验与观察.它具有两个特点：随机性、重复性.2.样本点——随机试验的每一个可能结果.3.样本空间(Ω)——随机试验的所有样本点构成的集合.4.两类样本空间：离散样本空间样本点的个数为有限个或可列个.连续样本空间样本点的个数为无限不可列个.1.1.2样本空间第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第6页1.随机事件——某些样本点组成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.3.必然事件(Ω)4.不可能事件(φ)——空集.5.随机变量表示随机现象结果的变量.常用大写字母X、Y、Z…表示.2.基本事件——Ω的单点集.1.1.3随机事件第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第7页表示随机现象结果的变量.常用大写字母X、Y、Z…表示.1.1.4随机变量第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第8页在试验中，A中某个样本点出现了，就说A出现了、发生了，记为A.维恩图(Venn).事件的三种表示用语言、用集合、用随机变量.事件的表示第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第9页包含关系：AB,A发生必然导致B发生.相等关系:A=BAB而且BA.互不相容：A和B不可能同时发生.1.1.5事件间的关系第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第10页解：1)显然，B发生必然导致A发生，所以BA;.2)又因为A发生必然导致B发生，所以AB，由此得A=B.例1.1.1口袋中有a个白球、b个黑球，从中一个一个不返回地取球。A=“取到最后一个是白球”，B=“取到最后一段是白球”。问A与B的关系？第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第11页•并：ABA与B至少有一发生•交：AB=ABA与B同时发生•差：ABA发生但B不发生•对立：A不发生1.1.6事件的运算A第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第12页事件运算的图示ABABAB第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第13页德莫根公式;ABABABAB1111;nnnniiiiiiiiAAAA第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第14页记号概率论集合论Ω样本空间,必然事件空间φ不可能事件空集样本点元素ABA发生必然导致B发生A是B的子集AB=φA与B互不相容A与B无相同元素ABA与B至少有一发生A与B的并集ABA与B同时发生A与B的交集ABA发生且B不发生A与B的差集A不发生、对立事件A的余集A第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第15页基本事件互不相容，基本事件之并=Ω注意点(1)AAΩAAAAAAAAAABABB第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第16页注意点(2),ABABBABAABAAB()()ABABAABABAABAB第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第17页若A1，A2，……，An有1.Ai互不相容；2.A1A2……An=Ω则称A1，A2，……，An为Ω的一组分割.样本空间的分割第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第18页1.若A是B的子事件，则AB=()，AB=()2.设A与B同时出现时C也出现，则()①AB是C的子事件；②C是AB的子事件；③AB是C的子事件；④C是AB的子事件.课堂练习③BA第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第19页3.设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系①A={|xa|＜σ}，B={xa＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④AB相容不相容第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第20页5.试用A、B、C表示下列事件：①A出现；②仅A出现；③恰有一个出现；④至少有一个出现；⑤至多有一个出现；⑥都不出现；⑦不都出现；⑧至少有两个出现；ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABACBCA第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第21页设Ω为样本空间，F是由Ω的子集组成的集合类，若F满足以下三点,则称F为事件域1.1.7事件域1nnAA1.ΩF;2.若AF，则F;3.若AnF，n=1,2,…,则F.第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第22页•直观定义——事件A出现的可能性大小.•统计定义——事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.•古典定义；几何定义.§1.2概率的定义及其确定方法第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第23页•非负性公理：P(A)0;•正则性公理：P(Ω)=1;•可列可加性公理：若A1,A2,……,An……互不相容，则1.2.1概率的公理化定义11()iiiiPAPA第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第24页•从n个元素中任取r个，求取法数.•排列讲次序，组合不讲次序.•全排列：Pn=n!•0!=1.•重复排列：nr•选排列：1.2.2排列与组合公式!(1)......(1)()!rnnPnnnrnr第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第25页组合•组合：!!()!!rrnnnnPCrrnrr11rnrnrCr•重复组合：第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第26页求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注意第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第27页加法原理完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成n个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第28页随机试验可大量重复进行.1.2.3确定概率的频率方法()()nnAfAn进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第29页古典方法设为样本空间，若①只含有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4确定概率的古典方法第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第30页•抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次•Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此样本空间中的样本点等可能.•Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}此样本空间中的样本点不等可能.注意第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第31页例1.2.1六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.解：用乘法原则直接计算644221865432115所求概率为第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第32页n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第33页n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：22(2)2(1)nnnn例1.2.3第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第34页1.2.5确定概率的几何方法若①样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S；②落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关(等可能的).则事件A的概率为:P(A)=SA/S第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第35页几何方法的例子例1.2.3蒲丰投针问题平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l的针，求针与平行线相交的概率.第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第36页蒲丰投针问题(续1)解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足：0xd/2;0.形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S=d(/2).第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第37页蒲丰投针问题(续2)A=“针与平行线相交”的充要条件是:xlsin(/2).针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得0sin(/2)2()(/2)AldSlPASdd第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第38页由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做N次试验，得n次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn).历史上有一些实验数据.的随机模拟第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第39页蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率．分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：1)一个顶点在平行线上;2)一条边与平行线重合;3)两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.第一章随机事件与概率华东师范大学9November2020第40页解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc,a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为p=P(三角