概论第二章课件

第二章随机变量及其分布离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量随机变量函数的分布一、随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.2.1随机变量的概念1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份郑州的最高温度；每天从北京站下火车的人数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.e.X(e)sR（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.称这种定义在样本空间上的实值函数为简记为r.v.而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示例如从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.如P(X1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5X1.7)=?这时,要么x≥1.7米，要么x1.7米，再去求P(x≥1.7米)就没有什么意义了.一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就得到X的一个具体的值，记作x.有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{没有收到呼叫}{X=0}可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律三、随机变量的分类通常分为两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法.解：分析例一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当0.15X1000×0.1时，报童赔钱故{报童赔钱}{X666}{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}2.2离散型随机变量及其分布律一、定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)为X的分布律或概率分布。可表为X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…~XXx1x2…xK…Pkp1p2…pk…(1)pk0,k＝1,2,…;(2)1.1kkp＝.}{35332CCCkXPkk＝＝三、例题例设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，2二、分布律的性质例某篮球运动员投中篮筐概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取0、1、2为值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常常表示为：81.018.001.0210~X这就是X的概率分布.例.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数.解:显然，X可能取的值是1,2,…，P(X=1)=P(A1)=p,为计算P(X=k)，k=1,2,…，Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp2)1(,2,1kppkXPk1)1()(可见这就是求所需射击发数X的概率函数.P(X=1)=P(A1)=p,Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp2)1(若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.不难验证:1)1(11kkpp,2,1kppkXPk1)1()(例.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.解:依题意,X可取值0,1,2,3.P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设路口3路口2路口1P(X=1)=P()21AA2121=1/4321AAAP(X=2)=P()212121=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设321AAA=1/8P(X=3)=P()212121路口1路口2路口3818141213210~X即不难看到301)(iiXPX表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设例某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5四、几个常用的离散型分布1.(0-1)分布若随机变量X只可能取0或1，它的分布律是P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0p1)k＝0，1则称X服从(0－1)分布(两点分布)分布律也可写成若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X～B（n,p)分布律为：2.伯努利试验、二项分布定义试验E只有两个可能结果（A及），则称E为伯努利试验。设将试验E独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重伯努利试验.),...,1,0(,)1(}{nkppkXPknkknCA例从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:例某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。解设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…3.泊松(Poisson)分布设随机变量X所有可能取的值是0，1，2,…，而取各个值的概率是P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)则称X服从参数为的泊松分布,记为X～)(泊松定理设随机变量X~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则X~)(np例设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。解:由题意,例设一汽车在开往目的地的途中需经过4盏信号灯，每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。令X表示首次停下时已通过的信号灯的盏数，求X的概率分布与p=0.4时的概率分布。出发地目的地3,2,1,0),1()(kppkXPk解4,)4(4kpXPkpk012340.60.40.60.420.60.430.60.44当4.0p解(1)设需要配备N个维修工人,设X为90台设备中发生故障的台数，则X~B(90,0.01)设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.(1)问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例90190)99.0()01.0()(NkkNkkCNXP令9.001.090则9019.0!9.0)(NkkkeNXP919.019.0!9.0!9.0kkNkkkeke19.0!9.0Nkkke01.0查附表2得N=4(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为9049.0!9.0)3(kkkeXP919.049.0!9.0!9.0kkkkkeke49.0!9.0kkke013459.0设30台设备中发生故障的台数为Y~B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai则23.0!3.0)2()(kkikeYPAP0369.03,2,1i三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件321AAA31321)(1iiAPAAAP1067.0)0369.01(13013459.0故三个人共同负责90台设备比各自负责好！想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意{X5年}还是{X5年零1分钟}2.3随机变量的分布函数一、分布函数的概念.定义设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{Xx}.易知，对任意实数a,b(ab),P{aXb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).二、分布函数的性质1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且一般地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为例设随机变量X具分布律如右表解X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。例向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=P{X≤x}当x0时,F(x)=0;当x1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观ab2.4连续型随机变量一、概率密度1.定义对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X～f(x),(-x+)密度函数的几何意义为2.密度函数的性质(1)非负性