《信号检测与估计》第二章习题解答

《信号检测与估计》习题解答-1-《信号检测与估计》第二章习题解答2.1若随机过程()tX为()∞∞−=tAttX式中，A为在区间()1,0上均匀分布的随机变量，求()[]tXE及()21,ttRX。解：()[][][]()2EEE10-tAdAtdAAAfttAAttX=====∫∫+∞∞()()()[][]()3EE,2110221-2212122121ttdAAttdAAfAttttAtXtXttRX====⋅=∫∫+∞∞2.2已知随机过程()tX为()tXtX0cosω=，0ω是常数，X是归一化高斯随机变量，求()tX的一维概率密度函数。解：因为X是归一化高斯随机变量，所以[]0E=X，[]0E2=X。()[][][]0EcoscosEE00===XttXtXωω()[][][]tXttXtX022020222cosEcoscosEEωωω===()tX是线性叠加过程，因而也是一个高斯过程，所以()tX的一维概率密度函数为()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ttXttfX0220cos2expcos21ωωπ2.3随机过程由三条样本函数曲线组成：()11=tx，()ttxsin1=，()ttxcos1=并以等概率出现，求()[]tXE和()21,ttRX。解：()[]tttXEcos31sin3131++=()()()[]()()212122111221212122112121sin91-cos91cos91sin91cos91sin9191cossin91cossin91coscos91sinsin91cos91sin91cos91sin9191E,tttttttttttttttttttttXtXttRX+++++++=++++++++=⋅=2.4随机过程()tX为()tBtAtX00sincosωω+=式中，0ω是常数，A和B是两个相互独立的高斯随机变量，而且[][]0==BEAE，[][]222σ==BEAE。求()tX的均值和自相关函数。解：解：由于0ω为常数，且[][]0==BEAE，得到()[][][][]0sincossincos0000=+=+=tBEtAEtBtAEtXEωωωω由于A和B相互独立，且[][]222σ==BEAE，得到《信号检测与估计》习题解答-2-()()()[]()()()()[]()()[()()][]()[]()[]()[]()()()()()τωστωωωτωωτωωωτωωστωωτωωστωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωτωωωττ02000002000002200002002000000200200000020000cossincossincossinsinsincoscoscossinsincoscossinsincossinsincoscoscossinsincossinsincoscoscossincossincos,=++−=+++=+++++++=+++++++=++++=+=+ttttttttttttBEttABEttABEttAEttBttABttABttAEtBtAtBtAEtXtXEttR2.5随机过程()tX为)cos()(0φω+=tatX式中，a、0ω是常数，φ为()π2,0上均匀分布的随机变量。求()tX的均值和自相关函数。解：根据题意可得()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他02021πφπφf[]()[][][][]0sinsin2coscos2sinsincoscossinsincoscoscos20020000000=−=−=−=+=∫∫φφωπφφωπφωφωφωφωφωππdtadtatEatEattaEtaExE()()()[]φωφω++=201021coscos,tataEttR令tt=1，τ+=tt2，得()()()[]()()()()[]()()()[]()[]()[]τωφωτωφωτωτωφωφωτωφωτωφωτωφωφωφτωωφωτ020020020000022000002000cos22sinsin22cos1cos2sinsincoscoscossinsincoscoscoscoscos,atEatEatttEatttaEtataEttR=+−++=++−+=+−++=+++=+2.6随机过程()tX为()()φω+=tatX0cos式中，a、0ω是常数，φ为[]π2,0上均匀分布的随机变量。求证()tX是广义平稳随机过程。解：根据2.5计算结果可得[]0=xE，()()τωττ02cos2,aRttR==+即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故)(tX为广义平稳随机过程2.7设有状态连续，时间离散的随机过程()()AttXπ2sin=，式中，t只能取正整数，即L,3,2,1=t，A为在区间()1,0上均匀分布的随机变量，试讨论()tX的平稳性。解：()[]()[]()()()()02sin2sin2sinEE10====∫∫+∞∞−ωωπωωωπωπdftdftAttX《信号检测与估计》习题解答-3-()()()[]()[]()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠==−=−==−=−∫∫∞+∞−000212sin2sin2sin2sin2sinEE,10ττωτπωπωωωτπωπωπττdttdfttAttXtXttRX因此()tX是平稳随机过程。2.8平稳随机过程()tX的自相关函数为1)10cos(22)(10++=−τττeRX求()tX的均值、均方值和方差。解：对于周期随机过程()tX，则)(τXR也具有周期性，由于上述相关函数不具有周期性，因而有()12)10cos(2)()()(1021++=+=−τττττeRRRXXX由)10cos(2)(1ττ=XR可得对应的随机过程为)10cos(2)(1φ+=ttX所以021=Xm3222=∞=）（XXRm3222211=+=XXXmmm()[]5)0(E2==XRtX23-5-5-)0(222====XXXXmmRσ2.9若随机过程()tX的自相关函数为()τωτ0cos21=XR，求()tX的功率谱密度。解：由于自相关函数与功率谱密度函数互为傅立叶变换对，得()()ττωττωωτωτdedeRPjjXX−+∞∞−−+∞∞−∫∫==0cos21根据欧拉公式可得()()()()()()000224121cos210000ωωδπωωδπττττωωτωωτωωωττωτωωτ++−=+=+==∫∫∫∞+∞−+−−−−+∞∞−−−+∞∞−deedeeedePjjjjjjX2.10若平稳随机过程()tX的功率谱密度为()ωXG，又有()()ttaXtY0cosω=式中，a为常数，求功率谱密度()ωYG。解：()()()()()tjtjtjtjtXatXataXttaXtY0000--0e2e22eecosωωωωω+=+==由移频性质可知()()()()002ωωωωω++−=XXYGGaG2.11已知平稳随机过程()tX具有如下功率谱密度《信号检测与估计》习题解答-4-()651242+++=ωωωωXG求()tX的相关函数()τXR及平均功率W。解：()()()2j2212j2213j313j31213223165122222242−−++−−+=+−+=+++=+++=ωωωωωωωωωωωωωXG由傅里叶逆变换的性质可知()τωτueaaj1−↔+所以()()ττττττueeeeRX⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=−−22332212213131平均功率()2322arctan213arctan32d2132d22ππωωωωωωω−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+==+∞∞−+∞∞−∞+∞−∞+∞−∫∫XGW