c14-时间序列分析入门

时间序列分析入门主要内容•确定性时间序列模型•随机时间序列模型及其性质•时间序列模型的估计和预测一.确定性时间序列模型•时间序列：各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据•时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式确定性时间序列模型•滑动平均模型•加权滑动平均模型•二次滑动平均模型•指数平滑模型(1)滑动平均模型NyyyyNtttt11ˆ作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用于预测趋势Nt(2)加权滑动平均模型NyayayayNtNtttw11110ˆ110NaNii作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确其中Nt(3)二次滑动平均模型NyyyyNtttt11ˆˆˆˆˆNt对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均(4)指数平滑模型)ˆ(ˆˆ111ttttyyyy11ˆ)1(ˆtttyyy10平滑常数本期预测值是前期实际值和预测值的加权和二.随机时间序列模型及其性质•随机时间序列•平稳时间序列•随机时间序列模型1.随机时间序列•随机过程与随机序列•时间序列的性质(1)随机过程与随机序列为随机序列等，则称，，或，，，，，，为离散集，如当取为随机过程则称等或为连续集，如当取对于该随机变量的全体为随机变量，，取为某个时间集，对设ttttxTTTxTTTTtxxTtT2121012,),0[),(,随机序列的现实•对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···,xn，称它为随机序列{xt}的一个现实•随机序列的现实是一族非随机的普通数列(2)时间序列的统计性质(特征量)•均值函数：某个时刻t的性质dxxxpxEttt)()(的概率密度函数是ttxxp)(时间序列的统计性质•自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质))((),(Cov,ssttststExxExxExxrtsstrr,,)(Var,tttxr时间序列的统计性质•自相关函数ssttststrrr,,tsst,,1,tt2.平稳时间序列•所谓平稳时间序列是指时间序列{xt,t=0,±1,±2,···}对任意整数t，，且满足以下条件：1)对任意t，均值恒为常数2)3)对任意整数t和k，rt,t+k只和k有关•随机序列的特征量随时间而变化，称为非平稳序列2tEx)(无关的常数与tExt)t(Var2无关的有限常数与xtxkkttrr,txttxt平稳序列的特性•方差•自相关函数：220,])[(xtttxErr02rrrkxkk1,,10kkk自相关函数的估计TttkTttTtkttxxTxrrxxxxxx101211ˆˆ)())((ˆ平稳序列的判断kρkkρk0011平稳序列的自相关函数非平稳序列的自相关函数迅速下降到零缓慢下降一类特殊的平稳序列——白噪声序列•随机序列{xt}对任何xt和xt都不相关，且均值为零，方差为有限常数•正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布)0(0020krrExkxt3.随机时间序列模型•自回归模型（AR）•移动平均模型（MA）•自回归—移动平均模型（ARMA）(1)自回归模型及其性质•定义•平稳条件•自相关函数•偏自相关函数•滞后算子形式①自回归模型的定义•描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列值之间的相互关系随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk（kt）不相关，称为p阶自回归模型，记为AR(p)tptptttxxxx2211②(一阶)自回归序列平稳的条件1211ttttttxxxx33221tttttx是否平稳？均值为零？方差为有限常数？自协方差与t无关？AR(1)平稳的条件•均值•方差33221tttttx0)(0)(ttxEE成立)1()(Var6422tx为有限常数时，无关，与充分大时)(Var1)2(1)(Var)1(22ttxtxt满足这两个条件成立AR(1)平稳的条件•自协方差)(Var1)1()(),(Cov22,6422,tkkkttkkttkttkttxrtxxExxr充分大时，仅与k有关，与t无关结论：时，一阶自回归序列渐进平稳1③AR(p)的自相关函数•自协方差函数•自相关函数pkpkkpktptkttkttktpktpktkttkttkrrrxExxExxExxxxExxxEr221122112211)()(两边同除以r0pkpkkkkrr22110AR(p)的自相关函数pkpkkkkrr221101,0kkpppppppp22112211211211耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程例：求AR(1)的自相关函数tttxx11kk21kkkk例：AR(2)的自相关函数ttttxxx22112211kkk取k=1211120111取k=222221221121)1(取k=32221213131221312AR(p)自相关函数的拖尾性•对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一步之后为零（截尾），而是按指数衰减，称其具有拖尾性举例tttyy19.0210ρkkkk9.0tttyy19.02的序列tyt20④偏自相关函数pppppppp22112211211211耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程0ˆˆˆ,ˆ2ˆˆˆ1ˆˆ32122221111121japjppp时，阶自回归模型，当对于称为偏自相关函数，，，序列不显著为零，记，如果，得假设，记，得假设，，对一个自回归序列求AR(p)的偏自相关函数具有截尾性⑤AR(p)的滞后算子形式引进滞后算子B：一般有：1ttxBx10BxxBnttntptptttxxxx2211ttppxBBB)1(21AR(p)pppBBBB211)(记ttpxB)(tptBx)(1或(2)移动平均模型及其性质•定义•自相关函数•滞后算子形式①移动平均模型的定义•在序列{xt}中，xt表示为若干个白噪声的加权平均和其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为q阶移动平均模型，计为MA(q)qtqttttx2211②MA(1)的自相关函数11tttx221112121221)1()2()()(Var0)(0)()(tttttttttExExxEEE21111111)])([(),(CovttttttExxr2110111rr032MA(q)的自相关函数011222211211qqkqkkkk为零，称作截尾性时大于kqkk=0k=1,2,···,qkq举例18.02ttty49.08.018.02110ρkk0.512318.02ttty的序列yt-1135t③滞后算子形式tqqtqttttBx)(2211tqtxB)(1其中qqqBBBB2211)(AR(p)与MR(q)的比较tttx11tttxx1AR(1)MR(1)(3)自回归移动平均模型•定义•性质•滞后算子形式①自回归移动平均模型•自回归模型与移动平均模型的综合qtqtttptptttxxxx22112211计为ARMA(p,q)),0()()0,()(qARMAqMApARMApAR②ARMA(p,q)的性质•ARMA(p,q)兼有AR(p)和ARMA(q)的性质•平稳条件：与AR(p)相同•ARMA(1,1)平稳条件1111ttttxx充分大t11ARMA(1,1)的自相关函数2211121022212110212111101212])[(rrxErttt)2()]([1))(1()]([111111112222111112101111111krrrxxErrxxErkktttttttt自协方差函数ARMA(1,1)的自相关函数2121))(1(1111211111kkkkARMA(p,q)的自相关函数与AR(p)一样，具有拖尾性③滞后算子形式qtqtttptptttxxxx22112211tpqttqpttqtpxBBBBxBxB)()()()()()(11性质总结模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数拖尾截尾拖尾偏自相关函数截尾拖尾拖尾平稳的条件特征根在单位圆外无条件平稳特征根在单位圆外可逆的条件无条件可逆特征根在单位圆外特征根在单位圆外三.时间序列模型的估计和预测•模型识别与参数估计•时间序列预测1.模型识别与参数估计•模型识别•参数估计•阶数的确定•模型检验模型识别参数估计模型检验确定模型具体形式判断模型是否可取是否(1)模型识别•自相关函数截尾——MA(q)•自相关函数拖尾偏自相关函数截尾——AR(p)偏自相关函数拖尾——ARMA(p,q)(2)模型参数估计•AR(p)的最小二乘估计•ARMA(p,q)的最小二乘估计①AR(p)的最小二乘估计TpTpTTTppppppppppxxxxxxxxxxxx2211222112111211Txxx,,,21普通最小二乘法②ARMA(p,q)的最小二乘估计121121111111qtqtptptttqtqtptptttxxxxxxqtqtttptptttxxxx22112211),(sjittxfx非线性最小二乘估计(3)模型阶数的确定——MA(q)或AR(p)•自相关函数的截尾•偏自相关函数的截尾)ˆ21(/1ˆ)ˆ21(/11212qiikqiiTTTTkk/12/12模型阶数的确定——ARMA(p,q)AIC准则(Akaikeinfocriterion)TqpqpqpAIC/)(2),(ˆlg),(2)(),(122qpTqpTtt选择使AIC最小的(