初等数论2不定方程.ppt

2020/11/111第二章不定方程§2.1二元一次不定方程2020/11/112一、问题的提出〔百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”分析：设x,y,z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：1001531003xyzxyz消去z得到方程74100xy这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。2020/11/113小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用以铺地板,则下列选择正确的是（）分析：这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。A、①②、B、①③、C、②③、D、②④设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有60m+90n=360.2020/11/114二元一次不定方程的一般形式为,,,,,0(1)axbycabcZab174100.xy例求方程所有正整数解100772544xxy4,18;xy8,11;xy12,4.xy注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。2020/11/115二、二元一次不定方程解的形式和判定定理1若〔1〕式有整数解00,xxyy则〔1〕式的一切解可以表示为01011,,,,0,1,2(,)(,)xxbtyyatababtabab其中，，（2）,,,,,0(1)axbycabcZab00(,)1,(1),.abxxbtyyat注：如果则的解为2020/11/116定理1的证明：证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。00','(1),(1)xyxy设是的任一解，又是的解.00''.axbyaxby所以有1010(')(')*axxbyy（）11(,)1ab1001('),'ayytZyyat使得＝，01'yyat即+01*'.xxbt代入（），得(1)axbyc2020/11/117例2写出下列方程通解的形式：(1)582;xy(2)583;xy(3)6812;xy(4)681.xy008,5,0,1,2,xxtyytt008,5,0,1,2,xxtyytt004,3,0,1,2,xxtyytt004,3,0,1,2,xxtyytt008,5,0,1,2,xxtyytt或004,3,0,1,2,xxtyytt或2020/11/118说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样，解决问题的关键在于求一个特解。问题：所有的二元一次方程都有解吗？681.xy例如定理2有整数解(,).abc(1)axbyc显然；(,)dab，记11,.dcccdcZ若，则.dasbt可以表示为1()ccasbt所以11,xcsyct取，即为方程〔1〕的解。2020/11/119三、求二元一次不定方程整数解的一般方法先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。对于方程(1),若有解，则可化为,(,)1(3)axbycab的形式一般地，利用辗转相除法，得到1,asbt00,.xcsyct则2020/11/1110例3求方程的一个特殊解。741xy解：用7、4进行辗转相除法741343113741143114(741)1,所以，7(1)421.即001;2.xy从而，注：若原方程是741xy，则化为74()1xy，原方程有一个特解1,2xy.2020/11/111111132175xy例4求〔1〕的一切整数解。(111,321)3解：原方程可以化为3710725(2)xy371071xy先求〔3〕的一个整数解。107＝37×3－4，37＝4×9+1，从而1374937(373107)937(26)107(9)故〔3〕的一个整数解是26,9xy〔2〕的一个整数解是2625,925xy原方程的整数解为2625107,92537,xtyttZ2625107,92537,xtyttZ或者，2020/11/1112三、求二元一次不定方程整数解的一般方法代数运算，观察法1073725xy例5求的一切整数解。即得到原方程的一个整数解从而所求的一切整数解为2510737xy解：254337xx254'37xy令37'254yx'19'64yy'1y取3x8y003,8xy337,8107,xtyttZ2020/11/1113三、求二元一次不定方程整数解的一般方法变量代换法1761622xy例6求的一切整数解。解：原方程可化为88811xyxyz令，则方程可化为7811.xz11uxz再令，则方程可化为741uz2tuz又令，则方程可化为41tu41.ut逐步往回代入，可得227;ztut2381;2588;xtyttZ2020/11/1114习题讲解：313.,0,0,(,)1PaxbyNabab证明：方程1.NNabab的非负整数解的个数为或则其一切整数解可以表示为设是原方程的一个非负整数解，00,xy00,,xxbtyyattZ0,0xy由00axNaxtababt的取值区间长度为.Nab从而得证。2020/11/11154.,1,1,(,)1axbyNabab证明：方程NababNabab当时有非负整数解；时则不然；Nabab思考：呢？（1）方程的一般解可以表示为00,,0,1,2,xxbtyyatt在a个单位长度内，y一定有整数解。所以，一定存在某个，使得tZ001yyata对此t，代入原方程，得0()Nbyatxa(1)Nbaa(1)ababbaa12020/11/11164.,1,1,(,)1axbyNabab证明：方程NababNabab当时有非负整数解；时则不然；Nabab思考：呢？(2)Nabab当时，代入原方程，有假设存在非负整数解，则代入〔*〕，显然不成立。(1)(1)(*)axbyab(,)1ab又，(1),(1)aybx所以，1,1.ymaxnb即1,11xy，,1mn从而，2020/11/11172020/11/1118§2.2多元一次不定方程一、多元一次不定方程有解的判定定理1方程11221,,,,(1)nnnaxaxaxNaaNZ12(,,,).naaaN有整数解证明：()，12(,,,).naaad记1,,ndada.dN〔1〕有解2020/11/1119定理1方程11221,,,,(1)nnnaxaxaxNaaNZ12(,,,).naaaN有整数解()2.n当时，结论显然成立假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。21223(,),(,,,),.ndaadaaddN令则且2233nndtaxaxN所以方程有解，令其一整数解为23',',,'ntxx2233()nndtNaxax由112222axaxdt112222'axaxdt考虑方程，212(,)daa故该方程有解，记为12','.xx进而得到是原方程的一个整数解。123',',',,'nxxxx2020/11/1120二、多元一次不定方程求解的方法例1求不定方程x2y3z=7的所有整数解。2(1),xyt解：令37(2)tz则（1）的解为2,.(3)xtvvZyv（2）的解为13,.(4)2tuuZzu把(4)代入(3),消去t,得132,,.2xuvyvuvZzu注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.2020/11/112192451000xyz问题：对于方程，如何求解？924,51000xyttz令(9,24)3,9243xyt由于故可令，38.xyt即38351000.xyttz再解方程和一般地，我们可以给出多元一次不定方程的求解方法.2020/11/112211221,,,,(1)nnnaxaxaxNaaNZ二、多元一次不定方程求解的方法1222331(1)(,),(,),,(,).nnnaaddaddadd顺次求出若d不能整除N，则原方程无整数解；否则，继续下面的步骤。(2)构造如下的n-1个方程11222222333311nnnnaxaxdtdtaxdtdtaxN(3)求出每个方程的所有整数解〔含参数ti〕，再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，从而得到原方程的所有整数解。2020/11/1123例2求方程的一切整数解。92451000xyz2(9,24)3,d解：3(3,5)1dd原方程有整数解。列出如下的2个方程：924338(1)xytxyt351000(2)tz(1)的解为38,3,xtuytuuZ(2)的解为10003,20005,zvtvvZ把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为6000158,200053,10003,,xvuyvuzvuvZ2020/11/1124260235,解：9160435xyz可令15201291.xyz即得：1520534(1)xytxyt令51291(2)tz(1)的解为4,3,xtuytuuZ(2)的解为25,2312,zvtvvZ把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为23124,23123,25,,.xvuyvuzvuvZ例3把分解为三个分母两两互质既约正分数之和。91602020/11/11259160435xyz令,,0xyz由124231232352vuvuv例3把分解为三个分母两两互质既约正分数之和。916031uv23124,23123,25,,.xvuyvuzvuvZ231212(25)91112zvvv1,2,3.xyz91123.60435即2020/11/1126§2.3勾股数2020/11/1127人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？科学家们想尽了各种方法，比如通过卫星发射向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐等。而我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射类似下面的图形，如果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”.那这个图形的到底有什么秘密呢？我是地球人,Iamamanontheearth…﹌﹋﹠★◎▼♀♂2020/11/1128毕达哥拉斯,(公元前572-前492年),古希腊著名的数学家、哲学家、天文学家。毕达哥拉斯相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，从朋友家的地板中发现了这个秘密.2020/11/1129ABCSA+SB=SC222caa等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2020/11/1130