互易定理在天线测量中的应用

互易定理在天线测量中的应用互易定理是电磁场理论中的基本定理，由互易定理可以推导出天线测量中天线-探头耦合的基本公式。正确理解互易定理对天线测量理论的理解具有重要意义。本文将深入讨论互易定理的定义及其在平面、球面、柱面天线测量中的作用。1.互易定理互易定理又称Lorentz互易定理，设在各向同性介质中，有两套相同频率源11,JM和22,JM，分别在空间产生场11,EH和22,EH，均满足Maxwell方程。111111jjEHMHEJ222222jjEHMHEJ经过矢量恒等变换得到[卢万铮，天线测量与技术，p.9]：122112211221EHEHJEJEMHMH根据散度定理写成积分形式：122112211221svdsdvEHEHnJEJEMHMHS曲面包围区域v，n为S面上指向区域v的法向单位矢量。若源在区域v外，则上式右边体积分为零，因此有：12210sdsEHEHn若源在区域v内，则由S曲面和无穷大球面所形成的区域v’内无源，上述关系成立，这里主要讨论源在v内的情况。设源在v内，记无穷大球面为s，12210ssdsEHEHn在s上，场为TEM波，可以证明面积分结果为零，即：12210sdsEHEHn，于是有：12210sdsEHEHn上述面元发现n指向为区域v内，将n反向即可得到1.3式的左边结果为零的结论，所以对源在区域v内的情况：122112210vdvJEJEMHMH进一步：12122121vvdvdvJEMHJEMH若仅存在电流源，则有：1221vvdvdvJEJE上述过程假设两套源及其场已经达到稳定状态，而非瞬态响应。2.天线测量中的互易定理2.1平面近场测量如下图为平面天线测量示意图：0SfSbSSvwˆaˆbtS1zzV设区域V是由闭合曲面S所包围，0fbtSSSSSS。0S是z=z1位置的无限大平面；fS为连接天线和馈电单元的横截面；bS为紧贴馈电单元外壁的部分；S为连接0S的半径无穷大的半球面；tS为连接bS和S的半径无穷小的细管道。在S所包围的区域V内无源，根据互易定理有：00fbtSSSSSdsEHEHn很容易证明上述积分在面btSSS上为零，得到00fSSdsEHEHn在fS面，切向电磁场写为如下形式：ttkEvweHkvwhe和h是fS面上的特征电场和特征磁场，归一化和其他性质定义与[Hansen,p.27,p.34，或Kerns,p.52,1.1-2]一致。2fSdsvwvwEHEHn在0S面上，场可以用平面波展开来表示：21,,4xyjjxyxyxykkakkebkkedkdkkrkrEr00btABBAssssdsEHEHn如第一节证明，s上积分为零。应用矢量恒等式：ABFABFBFA得到ABBABABBEHEHnHnEHnE在ts面上，切向场分量为零，即，0ABnEnE，因此上述积分为零。在剩下0s和bs面上积分，二者都不为零，这也构成了近场测量的耦合公式。0bABBAABBAssdsdsEHEHnEHEHn上式左边积分结果正比于探头B接收到的电压(后续证明)，记为br，于是有：0ABBAsbrdsEHEHnn方向指向v外，在0s上指向-z方向，上式可写为：0ˆABBAsbrzdsEHEH在z0空间，场和波谱函数关系可写为：221,41,4jAxyxyjAxyxykkedkdkkkedkdkukrkrErAHrkA,BBEH为探头发射产生的场，在探头坐标系中可写为：221,41,4jBxyxyjBxyxkkedkdkkkedkdkukrkrErBHrkB需要将探头坐标系变换到天线坐标系，设探头所在位置在天线坐标系中为首先将探头坐标系平移到AUT原点，得到坐标系CS2,,xyz，0rrr，代入上式：221,41,4jjBxyxyjjBxyxkkeedkdkkkeedkdku00krkr0krkr0ErrBHrrkB将,BBEH变换到天线坐标系：将,AAEH和,BBEH在0s上写成平面波展开形式：