反比例函数与一次函数的综合

一、反比例函数的定义函数kyx(k为常数，0k)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.二、反比例函数的图象反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数kyx与kyx(0k)的图像关于x轴对称，也关于y轴对称.三、反比例函数图象的性质反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像是双曲线；当0k时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大.注意：⑴反比例函数kyx(0k)的取值范围是0x．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k时，双曲线kyx的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x，即0x或0x的缘故．如果笼统地叙述为0k时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．一、反比例函数与一次函数综合【例1】如图，是一次函数ykxb与反比例函数2yx的图像，则关于x的方程2kxbx的解为（）A．1212xx，B．1221xx，C．1212xx，D．1221xx，反比例函数与一次函数综合-11Oyx【巩固】若一次函数3yxb和反比例函数3byx的图像有两个交点，当b______时，有一个交点的纵坐标为6.【例2】直线ykx(0k)与双曲线4yx交于A11xy，，B22xy，两点，求122127xyxy的值.BAxyO【巩固】直线0yaxa与双曲线3yx交于1122AxyBxy，、，两点，则122143xyxy．【例3】在平面直角坐标系xOy中，直线yx向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数kyx的图象的一个交点为2Aa，，则k的值等于．【巩固】在平面直角坐标系Oxy中，直线yx绕点O顺时针旋转90得到直线l．直线l与反比例函数kyx的图像的一个交点为3Aa，，试确定反比例函数的解析式．【例4】如图，一次函数122yx的图象分别交x轴、y轴于ABP，，为AB上一点且PC为AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数0kykx的图象于Q，32OQCS，则k的值和Q点的坐标分别为______________.CBPQOxy【巩固】如图，直线43yx与双曲线0kyxx交于点A．将直线43yx向右平移92个单位后，与双曲线0kyxx交于点B，与x轴交于点C，若2AOBC，则k_________．CABOyx【例5】已知正比例函数1ykx1(0)k与反比例函数22(0)kykx的图象交于AB、两点，点A的坐标为(21)，．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标．【巩固】已知一次函数yxm与反比例函数1myx(1m)的图象在第一象限内的交点为P(0x，3)（1）0x的值．（2）一次函数和反比例函数的解析式.【例6】已知一次函数ykxb(0k)的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，且与反比例函数myx(0m)的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D.若1OAOBOD，（1）点A、B、D的坐标；（2）求一此函数与反比例函数的解析式.xyOCBAD【巩固】已知反比例函数kyx(0k)的图像经过点A(3，m)，过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为3．（1）求k和m的值．（2）若一次函数1yax的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求:AOAC的值．CBAxyO【例7】如图，反比例函数kyx的图像与一次函数ymxb的图像交于13A，，1Bn，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．OABxy【巩固】如图，已知一次函数1yxm（m为常数）的图象与反比例函数2kyx（k为常数，0k）的图象相交于点13A，．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标；（2）观察图象，写出使函数值12yy≥的自变量x的取值范围．【例8】如图，已知424ABn，，，是一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象的两个交点.（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．OABxy13OABxy【巩固】如图，已知：一次函数ykxb的图像与反比例函数myx的图像交于A、B两点.（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x取值范围．OA（-2，1）B（1，n）xy【例9】如图，已知424AnB，，，是一次函数ykxb的图象和反比例函数myx的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积；（3）求方程0mkxbx的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkxbx的解集（请直接写出答案）.【巩固】利用图象解一元二次方程230xx时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2yx和直线3yx，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程230xx，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y和直线yx，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6yx的图象（如图9所示），利用图象求方程630xx的近似解（结果保留两个有效数字）．（图9）yxO6yx3663-3-6-6-3OABxy（图9）yxO6yx3663-3-6-6-3