高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（上海卷.文科数学）含详解

2006年普通高等学校招生全国统一考试上海卷数学（文史类）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空填对得4分，否则一律得零分。1、已知{1,3,}Am，集合{3,4}B，若BA,则实数___m。2、已知两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll，则a____.3、若函数()(0,1)xfxaaa且的反函数的图像过点(2,1)，则___a。4、计算：23(1)______61limnnnn。5、若复数z满足(2)(1)zmmi（i为虚数单位），其中mR则____z。6、函数sincosyxx的最小正周期是_________。7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.8、方程233log(10)1logxx的解是_______.9、已知实数,xy满足3025000xyxyxy，则2yx的最大值是_________.10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。11、若曲线21xy与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_________.12、如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M,若,pq分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对,pq是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）（A）ABDC（B）ADABAC（C）ABADBD（D）0ADCB14、如果0,0ab，那么，下列不等式中正确的是（）（A）11ab（B）ab（C）22ab（D）||||ab15、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48（B）18（C）24（D）36三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17、（本题满分12分）已知是第一象限的角，且5cos13，求sin4cos24的值。18、（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？19、（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。在直三棱柱ABCABC中，90,1ABCABBC.（1）求异面直线11BC与AC所成的角的大小；（2）若1AC与平面ABCS所成角为45，求三棱锥1AABC的体积。20、（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。设数列{}na的前n项和为nS，且对任意正整数n，4096nnaS。（1）求数列{}na的通项公式（2）设数列2{log}na的前n项和为nT,对数列nT，从第几项起509nT？21、本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F,右顶点为(2,0)D,设点11,2A.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点,BC，求ABC面积的最大值。22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。已知函数ayxx有如下性质：如果常数0a，那么该函数在0,a上是减函数，在,a上是增函数。（1）如果函数2(0)byxxx在0,4上是减函数，在4,上是增函数，求b的值。（2）设常数1,4c，求函数()(12)cfxxxx的最大值和最小值；（3）当n是正整数时，研究函数()(0)nncgxxcx的单调性，并说明理由。上海数学(文史类)参考答案一、(第1题至笫12题)1.42.23.214.615.36.π7.116922yx8.59.010.331411.－1b112.4二、(第13题至笫16题)13.C14.A15.A16.D1、已知{1,3,}Am，集合{3,4}B，若BA,则实数4m。2、已知两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll，233a，则a2.3、若函数)(xf＝xa（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，－1），则原函数的图象过点(－1，2)，∴12a，a＝21．4、计算：23(1)61limnnnn23111lim166nnn。5、若复数z满足(2)(1)zmmi（i为虚数单位）为纯虚数，其中mR，则m=2，z=3i，3z。6、函数sincosyxx=21sin2x，它的最小正周期是π。7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4cb，解得5,4cb，则双曲线的标准方程是221916xy.8、方程233log(10)1logxx的解满足22100103xxx，解得x=5.9、已知实数,xy满足3025000xyxyxy，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则2yx的最大值是0.10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是28212CPC3314.11、曲线21xy得|y|1，∴y1或y－1，曲线与直线yb没有公共点，则b的取值范围是[－1，1].12、如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M,若,pq分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对,pq是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是4个.二、选择题：13.C14.A15.A16.D13．如图，在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知ABADDB，所以下列结论中错误的是C．14、如果0,0ab，那么110,0ab，∴11ab，选A.15、若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若“这两条直线没有公共点”，则“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.CBAOyxABCD16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：①对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个；②对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个．选D.三、(第17题至笫22题)17.解：)42cos()4sin(=sincos122sincos)sin(cos222cos)sin(cos2222由已知可得sin1312,∴原式=142131312135122.18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=107.∵710120sin20sinACB,∴sin∠ACB=73,∵∠ACB90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.19.解：(1)∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.(2)∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=2,∴AA1=2.∴三棱锥A1-ABC的体积V=31S△ABC×AA1=26.20.解(1)∵an+Sn=4096,∴a1+S1=4096,a1=2048.当n≥2时,an=Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)=an－1－an∴1nnaa=21an=2048(21)n－1.(2)∵log2an=log2[2048(21)n－1]=12－n,∴Tn=21(－n2+23n).由Tn－509,解待n2460123,而n是正整数,于是,n≥46.∴从第46项起Tn－509.21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为1422yx(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由x=210x得x0=2x－1y=2210yy0=2y－21由,点P在椭圆上,得1)212(4)12(22yx,∴线段PA中点M的轨迹方程是1)41(4)21(22yx.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入1422yx,解得B(1422k,1422kk),C(－1422k,－1422kk),则224114kkBC,又点A到直线BC的距离d=2121kk,∴△ABC的面积S△ABC=2411221kkdAB于是S△ABC=144114144222kkkkk由1442kk≥－1,得S△ABC≤2,其中,当k=－21时,等号成立.∴S△ABC的最大值是2.22.解(1)由已知得b2=4,∴b=4.(2)∵c∈[1,4],∴c∈[1,2],于是,当x=c时,函数f(x)=x+xc取得最小值2c.f(1)－f(2)=22c,当1≤c≤2时,函数f(x)的最大值是f(2)=2+2c；当2≤c≤4时,函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0x1x2,g(x2)－g(x1)=)1)((21121122nnnnnnnnxxcxxxcxxcx.当nc2x1x2时,g(x2)g(x1),函数g(x)在[nc2,+∞)上是增函数；当0x1x2nc2时,g(x2)g(x1),函数g(x)在(0,nc2]上是减函数.当n是奇数时,g(x)是奇函数,函数g(x)在(－∞,－na2]上是增函数,在[－na2,0)上是减函数.当n是偶数时,g(x)是偶函数,函数g(x)在(－∞,－na2)上是减函数,在[－na2,0]上是增函数.