高考数学试题分类详解 不等式

2007年高考数学试题分类详解不等式一、选择题1、（山东文7）命题“对任意的3210xxxR，≤”的否定是（）A．不存在3210xRxx，≤B．存在3210xRxx，≤C．存在3210xRxx，D．对任意的3210xRxx，【答案】C【分析】注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。2、（全国2理6）不等式:412xx0的解集为(A)(-2,1)(B)(2,+∞)(C)(-2,1)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解．不等式:412xx0，∴10(2)(2)xxx，原不等式的解集为(-2,1)∪(2,+∞)，选C。3、（全国2文4）下列四个数中最大的是（）A．2(ln2)B．ln(ln2)C．ln2D．ln2解．∵0ln21，∴ln(ln2)0，(ln2)2ln2，而ln2=21ln2ln2，∴最大的数是ln2，选D。4、（全国2文5）不等式203xx的解集是（）A．(32)，B．(2)，C．(3)(2)，，D．(2)(3)，，解．不等式203xx的解集是(3)(2)，，，选C。5、(安徽文8)设a＞1,且2log(1),log(1),log(2)aaamanapa,则pnm,,的大小关系为(A)n＞m＞p(B)m＞p＞n(C)m＞n＞p(D)p＞m＞n解析：设a＞1,∴212aa，21aa，2log(1),log(1),log(2)aaamanapa,∴pnm,,的大小关系为m＞p＞n，选B。6、(安徽理3)若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(A)a＜－1(B)a≤1(C)a＜1（D）a≥1解析：若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得11a，即实数a的取值范围是a≤1，选B。7、（北京理7）如果正数abcd，，，满足4abcd，那么（）Ａ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｂ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值唯一Ｃ．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一Ｄ．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一解析：正数abcd，，，满足4abcd，∴4=2abab，即4ab，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=2()2cdcd，∴c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值都为2，选A。8、（上海理13）已知,ab为非零实数，且ab，则下列命题成立的是A、22abB、22ababC、2211ababD、baab【答案】C【解析】若aba2b2，A不成立；若220,ababababB不成立；若a=1，b=2，则12,2babaabab,所以D不成立,故选C。9、（上海文理15）已知fx是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若2fkk成立，则211fkk成立，下列命题成立的是A、若39f成立，则对于任意1k，均有2fkk成立；B、若416f成立，则对于任意的4k，均有2fkk成立；C、若749f成立，则对于任意的7k，均有2fkk成立；D、若425f成立，则对于任意的4k，均有2fkk成立。【答案】D【解析】对A，当k=1或2时，不一定有2fkk成立；对B，应有2fkk成立；对C，只能得出：对于任意的7k，均有2fkk成立，不能得出：任意的7k，均有2fkk成立；对D，42516,f对于任意的4k，均有2fkk成立。故选D。10、（湖南理2）不等式201xx≤的解集是（）A．(1)(12]，，B．[12]，C．(1)[2)，，D．(12]，yx23,231210【答案】D【解析】由201xx≤得(2)(1)010xxx≤，所以解集为(12]，.11、（湖南文1）不等式2xx的解集是A．,0B.0,1C.1,D.,01,【答案】D【解析】由2xx得x（x-1）0，所以解集为,01,12、（重庆理7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则||2||2baab的最大值为（）A.1552B.42C.55D.22【答案】：B【分析】：a是1+2b与1-2b的等比中项，则222214414||.ababab1||.4ab2224(||2||)4||1.ababab2222||4()||2||14||14||14||abababababababab2244411()(2)4||||ababab11||4,4||abab242max.||2||324abab二、填空题1、（山东文14）函数1(01)xyaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线10(0)mxnymn上，则11mn的最小值为．【答案】:4【分析】：函数1(01)xyaaa,的图象恒过定点(1,1)A，1110mn，1mn，,0mn，（方法一）：122mnmnmn，11112224mnmn.（方法二）：1111()()2224.nmnmmnmnmnmnmn2、（山东文15）当(12)x，时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是．【答案】5m【分析】：构造函数：2()4,fxxmx[12]x，。由于当(12)x，时，不等式240xmx恒成立。则(1)0,(2)0ff，即140,4240mm。解得：5m。3、（广东理14）（不等式选讲选做题）设函数()|21|3,fxxx则(2)f=_____；若()5fx，则x的取值范围是________；答案：6；1[,1]24、（山东理16）函数log(3)1(0,1)ayxaa的图象恒过定点A,若点A在直线10mxny上,其中0mn,则12mn的最小值为_______.【答案】:8。【分析】：函数log(3)1(0,1)ayxaa的图象恒过定点(2,1)A，(2)(1)10mn，21mn，,0mn，121244()(2)4428.nmnmmnmnmnmnmn5、（上海理5）已知,xyR，且41xy，则xy的最大值为_____【答案】161【解析】211414()44216xyxyxy，当且仅当x=4y=12时取等号.6、（浙江理13）不等式211xx的解集是．【答案】：(0,2)【分析】：211211(1)211xxxxxxx(1)2102.211xxxxx7、（重庆理13）若函数f(x)=2221xaxa的定义域为R，则a的取值范围为_______.【答案】：10，【分析】：220212xaxa恒成立，220xaxa恒成立，2(2)40(1)010.aaaaa三、解答题1、（湖北理21）（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知21311nn，求证mnnm2131，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m1+mx.○1(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x20，即左边右边，不等式①成立；（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+1时，因为x-1,所以1+x0.又因为x≠0,k≥2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k·(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.综上所述，所证不等式成立.(Ⅱ)证：当,)21()311(,21311,6mnmmnnnmn）（时，而由（Ⅰ），31)311(nmnm.)21()311()31(mnmnnnm（Ⅲ）解：假设存在正整数00)3()2(43600000nnnnnnn使等式成立，即有（0330nn）+00)32()34(000nnnnn＝1.②又由（Ⅱ）可得（0330nn）+0000)311()31()32()34(0000000nnnnnnnnnnn+,121121)21()21()311(000010nnnnn与②式矛盾，故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；当n=1时，3≠4，等式不成立；当n=2时，32+42＝52，等式成立；当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2,3.2、(江西理17)．（本小题满分12分）已知函数)1(2)0(1)(2＜＜＜xckcxcxxfcx在区间(0，1)内连续，且89)(2cf．（1）求实数k和c的值；（2）解不等式182)(＞xf解：（1）因为01c，所以2cc，由29()8fc，即3918c，12c．又因为4111022()1212xxxfxkx≤在12x处连续，所以215224fk，即1k．（2）由（1）得：4111022()12112xxxfxx≤由2()18fx得，当102x时，解得2142x．当112x≤时，解得1528x≤，所以2()18fx的解集为2548xx．3、（北京文15）（本小题共12分）记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x≤的解集为Q．（I）若3a，求P；（II）若QP，求正数a的取值范围．解：（I）由301xx，得13Pxx．（II）1102Qxxxx≤≤≤．由0a，得1Pxxa，又QP，所以2a，即a的取值范围是(2)，．