计量经济学第十章-联立方程

第九章联立方程模型单一方程模型只用一个方程描述经济变量与各解释变量之间的关系。在单一方程模型中解释变量是被解释变量变化的原因，它们之间的因果关系是单向的。然而社经济现象是复杂的，因果关系可能是双向的，或者一果多因，或者一因多果，很难用单个方程完整地加以表达。联立方程模型就是由多个互相联系的单一方程组成的方程组。由于它包含的变量多，结构也较复杂，所以能全面反映经济系统的运行规律。一、联立方程模型及其设定从经济意义上看，联立方程模型主要反映了模型对象的经济行为以及外部环境、市场均衡条件。如：需求——供给模型Qd=b10+b11P+b12Y+u1Qs=b20+b21P+b22R+u2Qd=Qs式中：Qd:需求量；P:市场价格；Y:消费者收入Qs:供给量；R:气候条件因子第一节联立方程模型的基本概念小型国民经济宏观模型这是一个不考虑进出口因素的封闭的国内经济系统模型，包括三个随机方程，一个衡等式。消费方程：Ct=b10+b11Yt+b12Ct-1+u1投资方程：It=b20+b21(Yt-Yt-1)+b22Yt-1+b23Rt-4+u2利率方程：Rt=b30+b31Yt+b32(Yt-Yt-1)+b33(Mt-Mt-1)+b34(Rt-1+Rt-2)+u3国民收入方程：Yt=Ct+It+Gt式中：C:个人消费总量；I:国内投资总额；Y:国内生产总值GDPG:政府支出；M:货币供应量；R:短期利率二、联立方程模型的变量和方程式变量：1.内生变量，是由模型系统内决定的变量，其值在解联立方程后得到。2.外生变量，是由模型系统外部决定的变量。3.前定变量，包括外生变量和滞后内生变量。内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。三、联立方程的类型1、结构模型（structuralmodel）把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系。例：如凯恩斯模型•Ct=0+1Yt+ut1消费函数•It=0+1Yt+2Yt-1+ut2投资函数•Yt=Ct+It+Gt国民收入等式Ct消费；Yt国民收入；It投资；Gt政府支出；1,1,2称为结构参数。模型中内生变量有三个Ct，Yt，It。外生变量有一个Gt。内生滞后变量有一个Yt-1。Gt,Yt-1又称为前定变量。因模型中包括三个内生变量，含有三个方程，所以是一个完整的联立模型。结构式模型的矩阵表示把结构模型中的内生变量全部移到方程等式的左边得ct-1yt=0+ut1It-1yt=0+2yt-1+ut2-ct-It+yt=Gt用矩阵形式表达111100111tttyIc=100000200ttGy11+021ttuu用如下矩阵符号表示上式Y=X+u结构式模型的意义结构式模型描述了经济变量间的直接经济联系，可用于分析解释变量对被解释变量的直接营销。但是，由于模型中各方程包含内生变量，产生联立方程偏倚，使系数估计困难，也无法进行预测，所以说有经济分析意义，但缺少计量经济学意义。结构式模型的类型1）行为方程，它是反映经济活动主体的经济行为的函数关系式2）技术方程，它是基于生产技术的关系而建立的函数关系式3）制度方程，它是与法律、法令、规章制度有直接关系的经济数量关系式4.恒等式，恒等式有两种，一种是表示某种定义的恒等式，另一种是平衡方程。二、简化型模型（reduced-formequations）：把内生变量只表示为前定变量与随机误差项函数的联立模型。仍以凯恩斯模型为例其简化型模型为，ct=11yt-1+12Gt+vt1It=21yt-1+22Gt+vt2yt=31yt-1+32Gt+vt3或tttyIc=323122211211ttGy1+321vvv，其中ct，yt，It为内生变量，yt-1,Gt为前定变量，ij,(i=1,2,3,j=1,2),为简化型参数。用如下矩阵符号表示上式Y=X+v显然结构模型参数与简化型模型参数之间存在函数关系。对于结构式模型Y=X+u，如果可逆，则有Y=-1X+-1u比较上式与简化式Y=X+v，结构参数和简化型参数有如下关系存在，=-1，v=-1u说明，对于完备的结构式模型，当内生变量的系数矩阵可逆时，结构式模型可以转换成简化式模型。简化式模型的特点•可直接用OLS进行估计•反映了前定变量对内生变量的总影响•可以直接进行经济预测•模型经济含义不明确结构式模型与简化式模型的区别与联系•经济含义和用途不同•模型中变量间的联系不同•估计方法不同•一定条件下可以转化三、递归模型（recursivesystem）：在结构方程体系中每个内生变量只是前定变量和比其序号低的内生变量的函数。y1=11x1+…+1kxk+u1y2=21x1+…+2kxk+21y1+u2y3=31x1+…+3kxk+31y1+32y2+u3…..ym=m1x1+…+mkxk+m1y1+m2y1+…+mm-1ym-1+um其中yi和xj分别表示内生变量和外生变量。其随机误差项应满足E(u1u2)=E(u1u3)=…=E(u2u3)=…=E(um-1um)=0其典型特点是可以直接用OLS方法进行估计。第二节联立方程模型的识别例：关于粮食的需求供给模型如下，Dt=0+1Pt+u1(需求函数)St=0+1Pt+u2(供给函数)St=Dt(平衡条件)其中Dt需求量，St供给量，Pt价格，ui,(i=1,2)随机项。当供给与需求在市场上达到平衡时，Dt=St=Qt（产量），当用收集到的Qt，Pt样本值，而无其他信息估计回归参数时，则无法区别估计值是对0，1的估计还是对0，1的估计。从而引出联立方程模型的识别问题。一、模型识别的定义1、从结构方程参数的关系角度一个结构方程可以识别，是指它的全部估计系数可以从参数关系体系的方程组求解得到。若每个结构方程都可识别，则称模型可识别，否则模型就是不可识别的。结构方程可以识别又包含两种情况：如果求解结构参数唯一，则称恰好识别；如果求解结构参数不唯一，则称过度识别。2、从结构方程的统计形式角度如果被识别方程具有确定的统计形式，则这个结构方程可以识别，否则不可识别。1、不可识别Qd=b10+b11P+u1Qs=b20+b21P+u2Qd=Qs联立求解上述方程，得二、模型识别状态21112111121020bbbbbbPuu2111121211211110212011bbbbbbbbbbQuu写成模型的简化形式：P=10+V1Q=20+V22111102010bbbbΠ21111021201120bbbbbbΠ待求的结构式参数有四个，b10,b11,b20,b22，而只有二个方程组，方程无解，这个模型不可识别。2、恰好识别Qd=b10+b11Pt+b12Y+u1Qs=b20+b21Pt+b22Pt-1+u2Qd=Qs联立求解上述方程，得P=10+11Yt+12Pt-1+V1Q=20+21Yt+22Pt-1+V2参数关系式体系为：2111102010bbbbΠ21111021201120bbbbbbΠ21112212bbbΠ21111211bbbΠ2111122121bbbbΠ2111221122bbbbΠ待求的结构式参数有六个，b10,b11,b20,b22,b21,b22,而恰好有六个方程组，方程有唯一解，模型恰好识别。3、过度识别Qd=b10+b11Pt+b12Y+b13W+u1Qs=b20+b21Pt+b22Pt-1+u2Qd=Qs联立求解上述方程，得P=10+11Yt+12Pt-1+13W+V1Q=20+21Yt+22Pt-1+23W+V2参数关系式体系为：21112212bbbΠ21111211bbbΠ2111122121bbbbΠ2111222122bbbbΠ待求的结构式参数有七个，b10,b11,b20,b21,b22,b13,b23，但却有八个方程组，方程有解，但解不唯一，模型过度识别。21111313bbbΠ2111132123bbbbΠ21111021201120bbbbbbΠ2111102010bbbbΠ如果无法从简化式模型参数估计出所有的结构模型参数——不可识别的。如果能够从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数——可识别的。当结构模型参数与对应的简化型方程参数有一一对应关系——恰好识别的。如果简化型模型，有些结构模型参数取值不惟一——过度识别的。识别问题是完整的联立方程模型所特有的问题。只有行为方程才存在识别问题，对于定义方程或恒等式不存在识别问题。识别问题不是参数估计问题，但是估计的前提。不可识别的模型则不可估计。识别依赖于对联立方程模型中每个方程的识别。若有一个方程是不可识别的，则整个联立方程模型是不可识别的。不可识别模型的识别恰好识别可识别过度识别三、联立方程模型识别的条件1、阶条件（ordercondition）不包含在待识别方程中的变量（被斥变量）个数（联立方程模型中的方程个数–1）11kkmmkmkmiiii或其中m表示内生变量个数，k表示前定变量个数，下标i表示第i个方程。阶条件是必要条件但不充分，即不满足阶条件是不可识别的，但满足了阶条件也不一定是可识别的。2、秩条件（rankcondition）待识别方程的被斥变量系数矩阵的秩=（联立方程模型中方程个数–1）秩条件是充分必要条件。满足秩条件能保证联立方程模型内每个方程都有别于其他方程。3、模型识别的步骤mi+ki≤k+1？Ai秩=m-1？mi+ki=k+1？不可识别过度识别不可识别恰好识别是是是否否否例：某结构模型为，y1=12y2+11x1+12x2+u1y2=23y3+23x3+u2y3=31y1+32y2+33x3+u3）由于结构模型有3个方程，3个内生变量，所以是完整的联立方程模型。对于第2个方程，被斥变量有3个y1,x1,x2，（方程个数–1）=2，或3iikm，41k所以满足阶条件。用秩条件：其结构模型的系数矩阵是，33323123231211120010010001从系数阵中划掉第2个方程的所在的行和该方程非零系数所在的列，得第2个方程被斥变量的系数阵如下，33323123231211120010010001001311211因为0131110,0131120,被斥变量系数阵的秩=2，已知(方程个数)-1=2，所以第2个方程是可识别的。再用阶条件判断第2个方程的恰好识别性或过度识别性。因为3iikm，41k，1kkmii，所以2个方程是过度识别的。第三节联立方程模型的估计（一）简化型模型——OLS法由于简化型模型一般是由结构模型对应而来。每个方程只含有一个内生变量且为被解释变量。它是前定变量和随机项的唯一函数。方程中解释变量都是前定变量，自然与随机项无关。所以用OLS法得到的参数估计量为一致估计量。（二）递归模型——OLS法。y1=11x1+…+1kxk+u1y2=21x1+…+2kxk+21y1+u2y3=31x1+…+3kxk+31y1+32y2+u3…..首先看第一个方程。由于等号右边只含有外生变量和随机项，外生变量和随机项不相关，符合假定条件，所以可用OLS法估计参数。对于第二个方程，由于等号右边只含有一个内生变量y1，以及外生变量和随机项。根据假定u1和u2不相关，所以