SnS-第6章拉普拉斯变换与连续时间系统(3)

信号与系统多媒体教学课件第六章Part322019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课内容要点双边拉普拉斯变换的定义和收敛域单边拉普拉斯变换及其性质拉普拉斯逆变换微分方程和电路的s域求解LTI系统的系统函数及其性质LTI系统的框图表示32019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.0引言6.1拉普拉斯变换的定义6.2单边拉普拉斯变换6.3拉普拉斯变换的性质作业一42019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.4拉普拉斯逆变换6.5微分方程的求解作业二52019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.6电路的s域求解6.7双边拉普拉斯变换作业三62019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.8LTI系统的系统函数及其性质6.9LTI系统的框图表示作业四72019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解利用拉氏变换进行电路分析的两种方法应用基尔霍夫定律写出描述电路网络特性的微分方程，然后采用拉普拉斯变换来求解该方程，再通过逆变换得到时域解建立电路的s域等效模型，在此模型上建立的电路方程将是一个代数方程，求解更方便82019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解电路的微分方程解法【例6-27】已知下图所示的RC电路，t=0时开关闭合接入一直流电压V，假设电容C上的初始电压为vC(0-)=V0。求t≥0时的输出vC(t)，并指出零输入响应vC,zi(t)和零状态响应vC,zs(t)RCvC(t)Vt=0i(t)92019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解【例6-27】(续)解：应用KVL，可得该电路的微分方程利用时域微分性质作拉普拉斯变换得RCvC(t)Vt=0i(t))()(d)(dtVutvttvRCCC)()(1d)(dtuRCVtvRCttvCCsRCVsVRCvssVCCC1)(1)0()()]/(1[1)/(1)(0RCssRCVRCsVsVCVC,zi(s)VC,zs(s)102019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解【例6-27】(续)部分分式展开,得求ILT得RCvC(t)Vt=0i(t))/(111)/(1)(0RCssVRCsVsVC)()e1()(e)(0tuVtuVtvRCtRCtC)(e)(0zi,tuVtvRCtC)()e1()(zs,tuVtvRCtC112019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解s域等效模型根据电路元件的阻抗R与电压v(t)和电流i(t)的关系建立元件的s域等效模型，然后根据KCL和KVL直接写出s域的代数方程电阻的s域等效模型电容的s域等效模型电感的s域等效模型电源的s域等效模型122019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解s域等效模型电阻的s域等效模型o电阻的R、v(t)、i(t)关系及LTo电阻的s域模型图)()(tRitv)()(sRIsVRi(t)v(t)+-RI(s)V(s)+-132019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解s域等效模型电容的s域等效模型o电容的C、v(t)、i(t)关系及LTo电容的s域模型图ttvCtid)(d)()0()()(CvssCVsIsvsIsCsV)0()(1)(i(t)v(t)C+-I(s)V(s)sC1+-sv)0(+-或I(s)V(s)sC1)0(Cv+-142019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解s域等效模型电感的s域等效模型o电感的L、v(t)、i(t)关系及LTo电感的s域模型图ttiLtvd)(d)()0()()(LissLIsVsisVsLsI)0()(1)(sLI(s)si)0(V(s)+-i(t)v(t)L+-或sLI(s)V(s)+-)0(Li+-152019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解s域等效模型电源的s域等效模型o电压源的s域模型图o电流源的s域模型图+-v(t)+-V(s)+-+-I(s)i(t)162019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解【例6-28】应用s域模型求解例6-27解：应用元件的s域模型，可得到s域等效电路根据电路可求出环路电流为RVC(s)sV0I(s)sC1sV+-+-+-)/(11)/(1//)(00RCsRVVsCRsVsVsI172019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解【例6-28】(续)根据电路可直接写出输出电压为RVC(s)sV0I(s)sC1sV+-+-+-)/(1)/(1)/1(11)()(0000RCsVsVRCsVsVRCssRCVVsVsCsIsVC182019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解【例6-29】已知图示电路中L=0.5H，C=0.05F,R1=5Ω,R2=2Ω,并假设开关在t=0之前一直处于闭合状态，现将开关断开。求t≥0时电感中的电流i(t)解：确定电路的起始状态R1C10Vt=0i(t)LR2vC(0-)=10Vi(0-)=2A192019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.6电路的s域求解【例6-29】(续)s域等效电路根据等效电路求电流I(s)sLR2+-+-+-Li(0-)sC1sVc)0(s10sCsLRLisvsIC1)0()0(10)(222222226)2(6326)2()2(26)2(4)2(24042)(sssssssssI)(6sine32)(6cose2)(22ttuttutitt202LT0)()(coseasasttuat2020LT0)()(sineasttuatBack202019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换的必要性非因果信号和系统的问题不能用单边拉普拉斯变换来讨论应用双边拉普拉斯变换要注意的问题收敛域212019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7双边拉普拉斯变换收敛域特性双边拉普拉斯变换的性质双边拉普拉斯逆变换Back222019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.1收敛域特性性质1：收敛域内不能包含任何极点如果在收敛域内存在极点，则X(s)在该点的值为无穷大，它就不可能收敛。这说明收敛域是以极点为边界的。232019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.1收敛域特性性质2：信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)的收敛域为s平面上平行于jω轴的带状区域X(s)的收敛域仅与复变量s的实部(即)有关，而与s的虚部无关，这说明收敛域的边界必然是平行于虚轴jω的直线ttxttxttxtttstde)(dee)(de)(j242019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.1收敛域特性性质3：如果x(t)是一个时限信号，并且绝对可积，则X(s)的收敛域为全s平面时当时当0),(0,eedede)()(12212121TTAAtAttxsXTTTTtTTt252019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.1收敛域特性性质4：如果x(t)是一个双边信号，并且X(s)存在，则X(s)的收敛域一定是由s平面的一条带状区域所组成，即满足12将双边信号x(t)分为因果信号x(t)u(t)和反因果信号x(t)u(-t)两个分量，则00de)(de)(de)()(ttxttxttxsXststst00de)(de)()(ttxttxsXtt262019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.1收敛域特性性质4(续)假设x(t)为指数阶信号0,0,)(21tAetAetxtt当当0)(10)(20)(0)(1212e1e1dede)(ttttAAtAtAsXo当12时双边信号的拉氏变换收敛o当12时双边拉普拉斯变换不存在272019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.1收敛域特性性质5：如果x(t)是一个因果信号或右边信号，则X(s)的收敛域在其最右边极点的右边性质6：如果x(t)是一个反因果信号或左边信号，则X(s)的收敛域在其最左边极点的左边282019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.1收敛域特性【例6-30】已知信号x(t)=e-a|t|,aR,求双边拉普拉斯变换X(s)，画出零极点图，并标明收敛域解：双边指数信号x(t)波形如图所示Ox(t)t......1a0Ox(t)t......1a0292019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.1收敛域特性【例6-30】(续)将x(t)分解为因果信号和非因果信号两部分，根据例6-1和例6-2，它们各自的双边LT为双边指数信号x(t)的LT为asastuat)Re(,1)(eLTasastuat)Re(,1)(eLTasaasasaasassX)Re(,))((211)(O-aajBack302019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.2双边拉普拉斯变换的性质线性性质时移性质ROC：至少RxRhROC：Rx)()(LTsXtxROC：Rx)()(LTsHthROC：Rh)()()()(LTsbHsaXtbhtax0e)()(LT0stsXttx312019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.2双边拉普拉斯变换的性质复频域(s域)移位性质尺度变换性质ROC：Rx+Re(s0)ROC：aRx)(e)(0LT0ssXtxtsasXaatx1)(LT322019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.2双边拉普拉斯变换的性质时域微分性质复频域(s域)微分性质ROC：至少RxROC：Rx)()(ddLTssXtxt)(dd)(LTsXsttx332019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.2双边拉普拉斯变换的性质卷积性质时域积分性质ROC：至少RxRhROC：Rx{Re(s)0})()()()(LTsHsXthtxssXdxt)()(LT0Back342019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.3双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯逆变换的求法利用已知的变换表利用拉普拉斯变换的性质利用拉普拉斯变换收敛域性质352019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.3双边拉普拉斯逆变换以s的多项式之比表示的双边拉氏变换进行部分分式展开根据收敛域确定对应展开项的逆变换o极点位于收敛域的左边，逆变换为因果信号o极点位于收敛域的右边，逆变换为反因果信号itpiiipstuApsAi)Re(),(eLTitpiiipstuApsAi)Re(),(eLT362019年9月4日星期三信号与系统第6章第3次课§6.7.3双边拉普拉斯逆变换【例6