边界层基本理论

粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第1页第六章边界层基本理论本章主要内容：1.边界层的基本概念。2.边界层微分方程。3.边界层方程的相似性解。4.温度边界层。粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第2页第六章边界层基本理论6.1边界层的概念普朗特(Prandtl)在l904年于西德举行的第三届国际数学家学会上首次提出了边界层的概念。1908年，他的学生布拉休斯(Blusius)成功地用边界层方程求解了平板纵向绕流问题，得到了计算摩擦阻力的公式。（1）边界层的定义靠近壁面附近受到粘性影响的一个薄层称为边界层(或附面层)，如图6-1所示。粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第3页第六章边界层基本理论1）雷诺数↑↑时，惯性力〉〉粘性力，但在边界上的流体质点必然粘附在固体边界上，流速为零，称为无滑动条件。2）在流动区流速较大，因此在靠近壁面附近的一个薄层内，存在很大的速度梯度，即使粘性很小的流体，其粘性力也很大，粘性的影响不能忽略;而在这一薄层之处的主流区，速度梯度较小，即使粘性很大的流体，其粘滞力也很小，粘性力的影响可以忽略。（2）边界层的性质粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第4页第六章边界层基本理论1)边界层内的流动区域，必须考虑粘性影响，粘性力与惯性力有同阶大小，并且是有旋流动。2)边界层以外的外部流动区域，粘性影响可以忽略，可视作理想流体，且是有势流动。——边界层假设的基本出发点（3）边界层的两个重要假设（4）边界层厚度沿固体边界法线方向从ux=0(y=0)至ux=0.99U的垂直距离（厚度）。xxUxRe????（6-1）粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第5页第六章边界层基本理论6．2速度边界层6．2．1边界层微分方程式不可压缩流体二维流动，采用数量级比较的方法或者无量纲化的方法可将N―S方程简化，得到边界层的运动微分方程式(或叫普朗特边界层方程式)。简化条件：（1）根据边界层y向厚度δ与x轴和速度ux相比很小，是个微量，即1Re1~LL???(2)惯性力和粘性力同量级。粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第6页第六章边界层基本理论简化后得到的普朗特边界层运动微分方程:???????????????????????????????????01022ypyxuxpyxuyuxxuxutxuyyuxxu??（6-2）由方程组中0???yp，可得到边界层的一个重要性质:沿边界层外法线方向压强不变，等于边界层外边界上的压强，即p=p(x)。所以dxdpxp???粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第7页第六章边界层基本理论在边界层外边界上，由势流的伯努利方程:Ceup??221?xeueuteuxp??????????1（6-3）式中:ue——势流区中的速度。这样，方程组(6-2)即可简化为:??????????????????????????????220yxuxueutuyxuyuxxuxutxuyyuxxuee?（6-4）求解普朗特边界层方程的边界条件为:y=δ处，ux=ue，在壁面上y=0处，ux=uy=0。粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第8页第六章边界层基本理论由式中第二个方程得到：dxedueudxdpyyxu??11022??????（6-5）此条件在分析边界层分离现象时很有用，也是求解有压力梯度边界层解析的一个重要条件。如果势流速度ue的分布已知，根据上述方程组和边界条件就可以求解恒定二维边界层流动。若引入流函数ψ，xyu??????????,则（6-4）式可写成粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第9页第六章边界层基本理论????????????????????????????????????????????????0),,(,0,022332222ytxuyyyxyyxuutuyxyxyyteeee????????????（6-6）上式为流函数形式的边界层方程。（6-4）和（6-6）式对于曲壁面或轴对称二维边界层问题，方程仍然适用。粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第10页第六章边界层基本理论6．2．2边界层方程的相似性解对于不可压缩平面定常流动边界层，某些条件下，可以求出相似性解。6．2．2．1以速度为变量的相似性解定常流时，边界层方程为?????????????????????????????????)(,0,0022xeuxuyyuxuyyxuxueuyxuyuxxuxuyyuxxue??（6-7）粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第11页第六章边界层基本理论在一般情况下，),(yxfuuex?，如果在某种特殊情况下，有)(?fuuex?的某一特定函数，则)(?fuuex?就称之为相似性解。其中：η——相似变量。问题：Ι）什么情况下具有相似性解？П）如何寻找相似变量η，并将边界层方程转化为常微分方程进行求解？求相似性解的一般方法是采用群论方法。粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第12页第六章边界层基本理论1）引入线性变换群eeyyxxuAuuAuuAuyAyxAx54321,,,,??????????（6-8）A——变换参数，α1～α5——常数?????321111)()()(???xxuuyyxxA将变换群代入方程（6-7）得?????????????????????????????2222315224313202413yxuAxdudeuAyxuyuAxxuxuAyyuAxxuAe??????????????（6-9）粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第13页第六章边界层基本理论2）要求每一方程对变换群来说，形式不变，故有??????????????2315243132413222?????????????解得??????????21324352???????3）消去变换参数，得绝对变换量3221)()()(11????xxyyyyxx???记??????????xyxy12（a）粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第14页第六章边界层基本理论同样对ux，uy也可得到类似变换)(2121???fxuxuxx????)(???gxuxuyy????(b)（c）4)若有相似性解，条件是：函数(f,g)，边界条件均与x无关，只与η有关。边界条件：??????????????????????????21)()()(,00,0,00xxufxuuygfuuyeexyx粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第15页第六章边界层基本理论根据相似性解的条件有：tConsxxuetan)(21???（6-10）若记：m???21，则应满足meCxu?（6-11）（6-11）式即为具有相似性解的条件。此时?????????)()(21????gxufxuyx（6-12）对f,g有粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第16页第六章边界层基本理论?????????????????????22222)(1)()(1)()()()(????????ddxyddxdddydydddxdx（6-13）5）变换方程，将上面各量代入原方程得????????????????''210''2122fmCgfffmmfgfmmf???（6-14）（6-14）式即成为常微分方程，定常流时，通过量纲分析可得到无量纲相似变量η为粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第17页第六章边界层基本理论6．2．2．2沿平板的定常流——Blusius相似性解沿平板的定常流，无压强梯度，来流速度为，ty??2?（6-15）当求出f、g后，可由（6-12）式求出边界层内的速度分布?u以流函数ψ为变量，引入流函数ψ，xyu??????????,则（6-7）式可写成粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第18页第六章边界层基本理论????????????????????????????????????????uuyyyxxyyxuuyxyxyeee???????????,0,0,0,033222（6-16）1）引入线性变换群eeuAuAyAyxAx4521,,,???????????????321111)()()(???xxuuyyxxA粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第19页第六章边界层基本理论将变换群代入方程和边界条件得??????????????????????????????????????euAyAyyAxxyAyxyyy42303233)22(22132,,0,0,032??????????????????2）要求每一方程对变换群来说，形式不变，故有?????????42323213322????????解得???????2142132??????粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第20页第六章边界层基本理论3）消去变换参数，得绝对变换量记：??????????????????????????????????21211112*)()(,xuxugxxfxyxyee4)若有相似性解，要使边界条件与x无关，则有tConsxutan21????使必有21,21?????从而，m，故（6-17）粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第21页第六章边界层基本理论?????????xfxy???)(**无量纲化，得???????????xufxuy?????)(（6-18）5）化成常微分方程得?????????????1',0',0,00'''''2ffffff??（6-19）粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第22页第六章边界层基本理论数值解如图6-2所示。??????????)]()('[21)('?????ffxuufuuyx（6-20）边界层厚度δ是99.0)('????fuux时的y值，当99.0)('??f时，η=5.0从而有：xxuxRe0.50.5?????（6-21）粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第23页第六章边界层基本理论壁面切应力：0)(????yxwyu??，从图6-2可知，33206.0)0(''?f故：xwufxuuRe133206.0)0(''2?????????（6-22）6．2．2．3沿二维楔形通道的Falkner–Skan相似性解如图6-3所示的二维契形通道，先证明任意流场处的势流速度满足相似性解的条件，即：YXxyrαδθU-1αmeCxu?（1）求势流区速度?ireiYXz???粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第24页第六章边界层基本理论复势：1111???????mimzeUmiW???其中：mmm????1,?????或)(111?????????????immmimerUzeUivudzdW???????????)(sin)(cos11????mrUvmrUumm在边壁上：??????????????)(sin)(cos11??????mrUvmrUummmrUvuU122???????粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第25页第六章边界层基本理论换成边界层坐标有：l是两坐标之间的长度比例因子，memCxxulxUU????)()(1?mlUC1??满足相似性解的条件。（2）求相似性解采用流函数形式，边界层方程为：?????????????????????????????????eeeuyyyxyydxduuyxyxy??????????,0,0,0,033222（6-23）粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第26页第六章边界层基本理论如果流函数可写为:)()()(??fxgxue?（6-24）其中相似变量)(xgy??（6-25）于是流速分量应为'fuyyuex?????????????]''''[]''''[??fgufgugfufggyufgugfuxueeeeeey????????????（6-26）将(6-24)式代入(6-23)式可得：粘性流体力学唐晓寅制作2009-11-25第27页第六章边界层基本理论?