方程的根与函数的零点(公开课)

一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步数学,科学的皇后;数论,数学的皇后哪里有数，哪里就有美代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具数学是科学的大门和钥匙方程的根与函数的零点什邡市七一中学宁家云2020年11月13日星期五问题提出问题1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1它们的含义分别如何？2.方程2x-1=0的根与函数y=2x-1的图象有什么关系？3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3问题4求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标知识探究（一）：方程的根与函数零点方程ax2+bx+c=0(a0)的根函数y=ax2+bx+c(a0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2问题5若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？思考1(1)对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，那么函数y=f(x)的零点实际是一个什么数？(2)：函数y=f(x)有零点可等价于哪些说法？对于函数y=f(x),叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数的零点定义：等价关系使f(x)=0的实数x零点的求法代数法(求方程的根)图像法（求函数图象与x轴的交点）结论思考2(1):函数f(x)=2x-1的零点是什么？函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分布？(2):二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点附近如何分布？知识探究（二）：函数零点存在性原理思考3：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？探究:（Ⅰ）观察二次函数32)(2xxxf的图象：○1在区间(-2,1)上有零点______；)2(f_______，)1(f_______,)2(f·)1(f_____0（＜或＞）．○2在区间(2,4)上有零点______；)2(f·)4(f____0（＜或＞）．问题探究观察函数的图象①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d)_____0（＜或＞）．知识探究（二）：函数零点存在性原理结论如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。abxy0ab0yxab0yxab0yxabbbbbbbbbbbbbbbbbxy0思考：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)0的结论吗？abxy0ab0yx如果函数y=f(x)在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。怎样求函数的零点？（1）求相应方程f(x)=0的根（2）利用函数的图象和性质去求例1求函数f(x)=lg(x-1)的零点.练习3：由下列函数的图像，回答函数有零点吗？有的话是多少？练习2:函数y=x2-5x+6的零点是（）A:（3，0），（2，0）；B:x=2；C:x=3；D:2和3．D练习1:方程x2-5x+6=0有几个根？32.521.510.5-2-112333)(xxf-112-2033x4321-1-2-3-4-4-22468oyx2)1)(x(2xf(x)-112-202)1)(x(2x-112-221-1-2-2241)-(3xlogf(x)301)-(3xlog3-101020-20105-5-20-101020f(x)=(3-x)(x+4)(3-x)(x+4)＝01.510.5-0.5-1-1.5-2-112gx()=exf1x=x120x例2求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数．解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由图可以看出，f(2)＜0，f(3)＞0，即f(2)·f(3)＜0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点，由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。巩固练习：（教材P88练习1、2（4）课堂小结(１)一元二次方程的根与相应的二次函数图象与X轴交点之间的关系；(２)函数零点的概念；(３)如何判断函数零点的个数．作业布置:1、请同学们认真消化今天学习的内容2、完成优化设计和课时训练本小节内容