2.4--反函数教案

高中数学教案第二章函数（第8课时）王新敞新疆奎屯市一中第1页（共5页）课题：2.4.1反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法奎屯王新敞新疆授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分奎屯王新敞新疆本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立奎屯王新敞新疆反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高奎屯王新敞新疆反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,定义域t0,值域s0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vst，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s0,值域t0.又如，在函数62xy中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR.我们从函数62xy中解出x，就可以得到式子32yx.这样，对于y在R中任何一个值，通过式子32yx，x在R中都有唯一的值和它对应.因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR.综合上述，我们由函数s=vt得出了函数vst；由函数62xy得出了函数32yx，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域.我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：高中数学教案第二章函数（第8课时）王新敞新疆奎屯市一中第2页（共5页）反函数的定义一般地，设函数))((Axxfy的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数))((Axxfy的反函数，记作)(1yfx,习惯上改写成)(1xfy开始的两个例子：s=vt记为vttf)(，则它的反函数就可以写为vttf)(1，同样62xy记为62)(xxf，则它的反函数为：32)(1xxf.探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(xfy来说，不一定有反函数，如2xy,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2xy,),0[x有反函数是xy探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(xfy是定义域A到值域C的映射，而它的反函数)(1xfy是集合C到集合A的映射，因此，函数)(xfy的定义域正好是它的反函数)(1xfy的值域；函数)(xfy的值域正好是它的反函数)(1xfy的定义域xxffxxff)]([,)]([11（如下表）：函数)(xfy反函数)(1xfy定义域AC值域CA探讨3：)(1xfy的反函数是？若函数)(xfy有反函数)(1xfy，那么函数)(1xfy的反函数就是)(xfy，这就是说，函数)(xfy与)(1xfy互为反函数奎屯王新敞新疆三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数：高中数学教案第二章函数（第8课时）王新敞新疆奎屯市一中第3页（共5页）①)(13Rxxy；②)(13Rxxy；③)0(1xxy；④)1,(132xRxxxy且.解：①由13xy解得31yx∴函数)(13Rxxy的反函数是)(31Rxxy，②由)(13Rxxy解得x=31y,∴函数)(13Rxxy的反函数是)(13Rxxy③由y=x+1解得x=2)1(y,∵x0，∴y1.∴函数)0(1xxy的反函数是x=2)1(y(x1);④由132xxy解得23yyx∵x{xR|x1}，∴y{yR|y2}∴函数)1,(132xRxxxy且的反函数是)2,(23xRxxxy小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到奎屯王新敞新疆⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射奎屯王新敞新疆例2．求函数23xy（Rx）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像奎屯王新敞新疆解：由23xy解得32yx∴函数)(23Rxxy的反函数是)(32Rxxy，它们的图像为：4321-1-2-3-4-2246y=xy=x+23y=3x-2高中数学教案第二章函数（第8课时）王新敞新疆奎屯市一中第4页（共5页）例3求函数211xy（1x0）的反函数奎屯王新敞新疆解：∵1x0∴02x1∴012x1∴021x1∴0y1由：211xy解得：22yyx(∵1x0)∴211xy(1x0)的反函数是：22xxy(0x1)例4已知)(xf=2x-2x(x≥2),求)(1xf.解法1：⑴令y=2x-2x，解此关于x的方程得2442yx，∵x≥2，∴2442yx，即x=1+y1--①,⑵∵x≥2，由①式知y1≥1，∴y≥0--②,⑶由①②得)(1xf=1+x1（x≥0，x∈R）；解法2：⑴令y=2x-2x=2)1(x-1，∴2)1(x=1+y，∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y1--①,即x=1+y1,⑵∵x≥2，由①式知y1≥1，∴y≥0,⑶∴函数)(xf=2x-2x(x≥2)的反函数是)(1xf=1+x1（x≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(xfy，求它的反函数)(1xfy（1）32xy（x∈R）（2）xy2(x∈R，且x≠0)高中数学教案第二章函数（第8课时）王新敞新疆奎屯市一中第5页（共5页）（3）4xy（x≥0）（4）53xxy(x∈R，且x≠35)五、小结本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）