指数与指数幂的运算

22=4(-2)2=4回顾初中知识,根式是如何定义的？有那些规定？①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方根.②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a的立方根.2,-2叫4的平方根.2叫8的立方根.-2叫-8的立方根.23=8(-2)3=-824=16(-2)4=162,-2叫16的4次方根;2叫32的5次方根;2叫a的n次方根;x叫a的n次方根.xn=a2n=a25=32…………………………………………通过类比方法，可得n次方根的定义.1.方根的定义如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且n∈N*.24=16(-2)4=1616的4次方根是±2.(-2)5=-32-32的5次方根是-2.2是128的7次方根.27=128即如果一个数的n次方等于a(n1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根.【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(1)25的平方根是_______;(2)27的三次方根是_____;(3)-32的五次方根是____;(4)16的四次方根是_____;(5)a6的三次方根是_____;(6)0的七次方根是______.点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n次方等于a.±53-2±20a223=8(-2)3=-8(-2)5=-3227=1288的3次方根是2.-8的3次方根是-2.-32的5次方根是-2.128的7次方根是2.奇次方根1.正数的奇次方根是一个正数,2.负数的奇次方根是一个负数.nana的次方根(奇用符号次)表示.382.记作：382.记作：5322.记作：71282.记作：72=49(-7)2=4934=81(-3)4=8149的2次方根是7，-7.81的4次方根是3，-3.偶次方根2.负数的偶次方根没有意义1.正数的偶次方根有两个且互为相反数记作：497记作：4813(nanan正数的次方根用符号表示为偶数）26=64(-2)6=6464的6次方根是2，-2.记作：6642.正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零.(1)奇次方根有以下性质：,21,N,,0,2,N.nnankkxnaakk那么如果,axn(2)偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.nana根指数根式被开方数由xn=a可知，x叫做a的n次方根.233(9)____,(8)____.9-8当n是奇数时,对任意a∊R都有意义.它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根.()nnaana当n是偶数时,只有当a≥0有意义,当a0时无意义.na(0)naa≥(0)naa≥()nnaa表示a在实数范围内的一个n次方根,另一个是.nnaa553322,22.(1)（）（）444444(3)22,,(2)222.(2)22233,(3)3.(3)3,式子对任意a∊R都有意义.nna结论:an开奇次方根,则有||.nnaa结论:an开偶次方根,则有.nnaa公式1.适用范围:①当n为大于1的奇数时,a∈R.②当n为大于1的偶数时,a≥0.公式2.适用范围:n为大于1的奇数,a∈R.公式3.适用范围:n为大于1的偶数,a∈R..nnaa||.nnaa44(3)(3);2(2)(10);2(4)()().abab33(8);（1）24423343310281ba解：=-8;=10;|3||10|||ab.abab3;例1.求下列各式的值4162①55(3)3②55(3)3③44(3)3⑤105(3)3④①④【1】下列各式中,不正确的序号是().532;⑴43;⑵（）526.⑷55532(2)2;⑴4223399;2⑵（）[()]2(3)23|23|32;（）223;⑶（）2()5262332.（）4解:【2】求下列各式的值.例2.填空:(1)在这四个式子中,没有意义的是________.532442164(2),,,(3)nnaa214(3)n(2)若则a的取值范围是______.296131,aaa13a≥22bc2)________.abcbac（(3)已知a,b,c为三角形的三边,则例3．计算1212(ee)4(ee)4.解：1212(ee)4(ee)4.22112211ee2ee4ee2ee42222ee2ee21212(ee)(ee)11|ee||ee|11(ee)(ee)2e.例求使等式成立的的范围24.(2)(4)(2)2.xxxxx2(2)2xx解2:(2)(4)xx22.xx22(2)2.xxxx20,20,|2|2.xxxx或即或2,2.xx≥则有所以x的取值范围是2,2.xx或≥2,2,20.xxx≥或2.根式的性质(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号表示.1.根式定义(2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,合写为.nana负数没有偶次方根.零的任何次方根都是零.零的任何次方根都是零.(2);nnaa(3)||.nnaa4.若xn=a,x怎样用a表示？为奇数不存为数为偶数在偶,,0,,,,0,0,,0.nnnnaanaaxa(1);nnaa3.三个公式例1.求值：526743642.解：222(32)(23)(22)原式|32||23||22|)22()32()23(22322322.例2．如果化简代数式24412|2|.xxx22520,xx解：22520,xx解之，得12.2x所以210,20.xx24412|2|xxx2(21)2|2|xx|212|2||xx2[((2))]21xx2214xx3.22520,xx653....0xAxBxCxDxx⑴若表示实数，则下列说法正确的是（）一定是根式一定不是根式一定是根式只有当才是根式≥C510164(1)(2)aa5102525(1)()aaa1644444(2)()aaa105a164a164a105a当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?解:二.分数指数幂注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.规定:正数的负分数指数幂:1mnmnaNa（a0,m,n且n1）同时:0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义mnmnaaN（a0,m,n且n1）2233aa说明是的次方根，如果幂的运算性质(2)(am)n=amn对于分数指数幂也适用,则2323aa233（a）23a32而a也是的次方根，于是有23a32a1、分数指数幂的定义:mnnmnmnmnm-nmnmn分数指数幂aa0,m,n∈N*,n1和整数指数幂a都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行计算.但整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂a不可理m解为个a相乘，它是根式的另一种写法，规定：a=an11a0,m,n∈N*,n1,a==a0,m,n∈N*,且n1,在这样aa的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式不同而已.3.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系(1)负数的负分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数值而定.（2）对于根式运算，（简单问题可根据根式的意义直接计算）一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算.3.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系(1)(0,)(0,)(0,)rsrsrrsaaaarsQaaarsQababarsQsrrr、(2)()=、(3)()=、同底数幂相乘,底数不变指数相加幂的乘方底数不变,指数相乘积的乘方等于乘方的积2、有理指数幂的运算性质:三、无理数指数幂一般地，无理数指数幂(0,是无理数)是一个确定的实数.a这样，指数幂的运算性质可在实数范围内推广：()mnmnaamnmnaaa(0,)amn、为实数()mmmabab(0,)amn、为实数(0,0,)abmn、为实数()aaaaa(0,)a、为无理数()abab(0,)a、为无理数(0,)a、为无理数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.例2:求值：4213-332116（1）8（2）100（3）（）（4）（）481解:223233（1）8=（2）=2=42121122111（2）100===10100（10）3-2-3（-2）（-3）61（3）（）=（2）=2=244334（-）-34162227（4）（）=（）=（）=81338例3:用分数指数幂表示下列各式(式中a0)解:332aaa2（1）a（2）（3）aa11522222aaaaa2（1）a221133323333aaaaaa（2）3411122aaaa12（3）aa（）例题讲解一、根式与分数指数幂的互化43aaaaa•例1.用分数指数幂表示下列格式•⑴•⑵•⑶•⑷332aa323aba这三个数的大小关系为6131,216,32练习二、根式运算243322143229811.2abba求下列各式的值例23234(1)(0);(2)(25125)25aaaa4、计算下列各式：练习三、分数指数幂运算;01.041225325.02120cbababa2413212421.3计算下列格式：例.))(2();3()6)(2)(1(88341656131212132nmbababa3、计算下列各式（式中字母都是正数）练习四.由条件求值问题的值求且已知练习21212121,,9,12yxyxyxxyyx221212121,3.4aaaaaa求下列格式值，已知例