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第2讲数学建模赛题分析、实践方法与算法数学与统计学院李鑫2020/11/142数学建模的赛题分析与实践方法1.CUMCM历年赛题的简析2.数学建模竞赛的实践方法3.数学建模竞赛常用方法解析4.数学建模竞赛10种常用算法2020/11/143•数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高;•竞赛的水平主要体现在赛题水平;•赛题的水平主要体现:(1)综合性、实用性、创新性、即时性等;(2)多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等;(3)海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解结果的不唯一性等。纵览20年的本科组40个题目(专科组21个),从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。一、CUMCM历年赛题的简析2020/11/1441.CUMCM的历年赛题及解法1993年:(A)通讯中非线性交调的频率设计问题(拟合、规划)(B)足球甲级联赛排名问题(图论、层次分析、整数规划)1994年:(A)山区修建公路的设计造价问题(图论、插值、动态规划)(B)锁具的制造、销售和装箱问题(图论、组合数学)1995年:(A)飞机的安全飞行管理调度问题(非线性规划、线性规划)(B)天车与冶炼炉的作业调度问题(动态规划、排队论、图论)1996年:(A)最优捕鱼策略问题(微分方程、优化)(B)节水洗衣机的程序设计问题(非线性规划)1997年:(A)零件参数优化设计问题(非线性规划)(B)金刚石截断切割问题(随机模拟、图论)一、CUMCM历年赛题的简析2020/11/1451.CUMCM的历年赛题及解法1998年:(A)投资的收益和风险问题(多目标优化、非线性规划)(B)灾情的巡视路线问题(图论、组合优化)1999年:(A)自动化机床控制管理问题(随机优化、计算机模拟)(B)地质堪探钻井布局问题(0-1规划、图论)2000年:(A)DNA序列的分类问题(模式识别、Fisher判别、人工神经网络)(B)钢管的订购和运输问题(组合优化、运输问题)2001年:(A)三维血管的重建问题(曲线拟合、曲面重建)(B)公交车的优化调度问题(多目标规划)2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题(非线性规划)(B)彩票中的数学问题(单目标决策)一、CUMCM历年赛题的简析2020/11/1461.CUMCM的历年赛题及解法2003年:(A)SARS的传播问题(微分方程、差分方程)(B)露天矿生产的车辆安排问题(整数规划、运输问题)2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(统计分析、数据处理、优化)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(数据拟合、优化)2005年:(A)长江水质的评价与预测问题(预测评价、数据处理)(B)DVD在线租赁问题(随机规划、整数规划)2006年:(A)出版社的资源管理问题(整数规划、数据处理、优化)(B)艾滋病疗法的评价及预测问题(线性规划、回归分析)2007年:(A)中国人口增长预测问题(微分方程、数据处理、优化)(B)“乘公交,看奥运”问题(多目标规划、动态规划、图论、0-1规划)一、CUMCM历年赛题的简析2020/11/1472008年:(A)照相机问题(非线性方程组、优化)(B)大学学费问题(数据收集和处理、统计分析、回归分析)2009年:(A)制动器试验台的控制方法分析(物理原理建模、数值积分、物理模拟、误差分析(微分方程、模拟))(B)眼科病床的合理安排(统计分析、排队论、仿真、随机优化、模糊综合评价)2010年:(A)储油罐的变位识别与罐容表标定(数据分析、非线性优化、微积分)(B)2010年上海世博会影响力的定量评估(信息收集、开放性)2011年:(A)城市表层土壤重金属污染分析(散乱插值拟合、聚类分析、主成分分析、偏微分方程)(B)交巡警服务平台的设置与调度(最短路算法、多目标优化、0-1规划、启发式算法)一、CUMCM历年赛题的简析2020/11/1482、从问题的解决方法上分析涉及到的数学建模方法:几何理论、组合概率、统计(回归)分析、优化方法(规划)、图论与网络优化、层次分析、插值与拟合、差分计算、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价、机理分析等方法。一、CUMCM历年赛题的简析2020/11/1493、从问题的题型上分析一、CUMCM历年赛题的简析赛题题型结构形式有三个基本组成部分:(1)实际问题背景涉及面宽--有社会,经济,管理,生活,环境,自然现象,工程技术,现代科学中出现的新问题等。一般都有一个比较确切的现实问题。(2)若干假设条件有如下几种情况:a.只有过程、规则等定性假设,无具体定量数据;b.给出若干实测或统计数据;c.给出若干参数或图形;d.蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件,或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。(3)要求回答的问题往往有几个问题(一般不是唯一的答案):a.比较确定性的答案(基本答案);b.更细致或更高层次的讨论结果(往往是讨论最优方案的提法和结果)。2020/11/14103、从问题的题型上分析(1)“即时性”较强的问题(2)理论性较强的问题(3)实用性较强的问题(4)算法要求强的问题(5)数据量大的问题一、CUMCM历年赛题的简析2020/11/14114、近几年题目的特点(1)综合性:一题多解,方法融合,结果多样,学科交叉。(2)开放性:题意的开放性,思路的开放性,方法的开放性,结果的开放性。(3)实用性:问题和数据来自于实际,解决方法切合于实际,模型和结果可以应用于实际。(4)即时性:国内外的大事,社会的热点,生活的焦点,近期发生和即将发生被关注的问题。(5)数据结构的复杂性:数据的真实性,数据的海量性,数据的不完备性,数据的冗余性。一、CUMCM历年赛题的简析2020/11/1412•常用数学模型有哪些?•常用数学建模方法有哪些?•参加数学建模需要具备哪些知识和能力?二、数学建模竞赛的实践方法2020/11/1413优化模型微分方程模型统计模型概率模型图论模型决策模型1、数学模型分类二、数学建模竞赛的实践方法2020/11/1414类比法量纲分析法差分法变分法图论法层次分析法数据拟合法回归分析法数学规划(线性规划,非线性规划,整数规划,动态规划,目标规划)2、数学建模常用的方法二、数学建模竞赛的实践方法2020/11/1415机理分析法排队方法对策方法决策方法模糊评判方法时间序列方法灰色理论方法现代优化算法(禁忌搜索算法,模拟退火算法,遗传算法,神经网络)二、数学建模竞赛的实践方法2、数学建模常用的方法2020/11/14163.数学建模所需要的知识和方法数学建模应具备的数学知识:高等数学、微分方程、运筹学、线性代数、概率统计、数值计算等。二、数学建模竞赛的实践方法另外还需要了解排队论、对策论、决策论、模糊数学、时间序列、灰色理论等相关知识。2020/11/1417问题—给定一批数据点(输入变量与输出变量的数据),确定满足特定要求的曲线或曲面。插值问题—要求所求曲线(面)通过所给所有数据点。数据拟合—不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象整体的变化趋势。1、插值与拟合方法三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1418一元函数拟合多项式拟合非线性函数拟合多元函数拟合(回归分析)函数的确定MATLAB实现(1)数据拟合三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1419一维插值的定义—已知n个节点,求任意点处的函数值。分段线性插值多项式插值样条插值y=interp1(x0,y0,x,'method')二维插值—节点为网格节点z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)二维插值—节点为散点z1=griddata(x,y,z,x1,y1)散乱数据差值(一般需专用的数据处理软件)(2)插值方法三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1420(1)优化模型四要素决策变量目标函数(尽量简单、光滑)约束条件(建模的关键)求解方法(MATLAB,LINDO)2、优化方法三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1421线性规划模型(目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题)非线性规划模型(目标函数或者约束条件是非线性的函数)整数规划(决策变量是整数值的规划问题)多目标规划(具有多个目标函数的规划问题)目标规划(具有不同优先级的目标和偏差的规划问题)动态规划(求解多阶段决策问题的最优化方法)(2)优化模型分类三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1422无约束规划fminsearchfminbnd线性规划linprog非线性规划fmincon多目标规划(计算有效解)目标加权、效用函数动态规划(倒向、正向)整数规划(分支定界法、枚举法、LINDO)(3)优化模型求解三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1423回归分析—对具有相关关系的现象,根据其关系形态,选择一个合适的数学模型,用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法(一元线性回归、多元线性回归、非线性回归)回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题:建立因变量与自变量之间的回归模型(经验公式)对回归模型的可信度进行检验判断每个自变量对因变量的影响是否显著判断回归模型是否适合这组数据利用回归模型对进行预报或控制[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)(线性回归)rstool(x,y,’model’,alpha)(多元二项式回归)[beta,r,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)(非线性回归)3、统计方法(1)回归分析三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1424逐步回归分析—从一个自变量开始,视自变量作用的显著程度,从大到小依次逐个引入回归方程当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时,要将其剔除掉引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量,为逐步回归的一步对于每一步都要进行值检验,以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量这个过程反复进行,直至既无不显著的变量从回归方程中剔除,又无显著变量可引入回归方程时为止stepwise(x,y,inmodel,alpha)SPSS,SAS(2)逐步回归分析三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1425聚类分析—所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性,要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据,再利用这些量将样本或者变量进行分类系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看成n类,一类包括一个样本或者指标,然后将性质最接近的两类合并成为一个新类,依此类推。最终可以按照需要来决定分多少类,每类有多少样本(指标)(3)聚类分析三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1426系统聚类方法步骤:1.计算n个样本两两之间的距离2.构成n个类,每类只包含一个样品3.合并距离最近的两类为一个新类4.计算新类与当前各类的距离(新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类的距离最小值),若类的个数等于1,转5,否则转35.画聚类图6.决定类的个数和类。(3)聚类分析三、数学建模竞赛常用方法解析2020/11/1427判别分析—在已知研究对象分成若干类型,并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据,在此基础上根据某些准则建立判别式,然后对未知类型的样品进行判别分类。距离判别法—首先根据已知分类的数据,分别计算各类的重心,计算新个体到每类的距离,确定最短的距离(欧氏距离、马氏距离)Fisher判别法—利用已知类别个体的指标构造判别式(同类差别较小、不同类差别较大),按照判别式的值判断新个体的类别Bayes判别法—计算新给样品属于各总体的条件概率,比较概率的大小,然后将新样品判归为来自概率最大的总体(4)判别分析三
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