常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数(1)离散型随机变量[1]概念：设X是一个随机变量，如果X的取值是有限个或者无穷可列个，则称X为离散型随机变量。其相应的概率()iiPXxp(12)i、……称为X的概率分布或分布律，表格表示形式如下：X1x2x3x……ixP1p2p3p……ip[2]性质：0ip11niip分布函数()iixxFxp1{}()()iiiPXxFxFx(2)连续型随机变量[1]概念：如果对于随机变量的分布函数()Fx，存在非负的函数()fx，使得对于任意实数x，均有：()()xFxfxdx则称X为连续型随机变量，()fx称为概率密度函数或者密度函数。[2]连续型随机变量的密度函数的性质()0fx()1fxdx{}()()()PaXbFbFafxdx若()fx在x点连续，则()()Fxfx(3)连续型随机变量和离散型随机变量的区别：[1]由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是,，对于任何x，000{}()()0PXxFxFx；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。[2]概率密度()fx一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布ip不仅非负，而且一定不大于1.[3]连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X取任何给定值的概率都为0.[4]对任意两个实数ab，连续型随机变量X在a与b之间取值的概率与区间端点无关，即：{}{}{}{}()()()baPaXbPaXbPaXbPaXbFbFafxdx即：{}{}()PXbPXbFx(4)常用的离散型随机变量的分布函数：[1]0-1分布：如果离散型随机变量X的概率分布为：1{}kkPXkpq（K=0、1）01p1qp称X服从参数为p的0-1分布。[2]二项分布：如果离散型随机变量X的概率分布为：{}kknknPXkCpq01kn、……01p1qp称X服从参数为n、p的二项分布，简记为~(,)XBnp{注：进行一次实验，若实验的成功率为p，则在一次实验中成功的次数X服从参数为p的0-1分布}{二项分布描述n重伯努利实验，若每次试验的成功率为p，则进行n次独立重复试验，则成功的总次数X服从参数为n、p的二项分布}{如果X服从二项分布~(,)XBnp，则Y=n-X服从二项分布只取0、1两个值的随机变量，称为0-1分布，它用来描述只有两种对立的结果（成功与失败、合格与不合格、击中目标与击中目标、时间A出现与不出现）的伯努利实验。~(,1)XBnp}[3]超几何分布：如果离散型随机变量X的概率分布为：1212{}mnmNNnNNCCPXmC01mn、……称X服从参数为n,1N、2N的超几何分布，其中n,1N、2N都为正整数，且n≤1N+2N{当2nN时，去正概率的X值不是从0开始，而是从2nN开始；当1nN时，去正概率的X值最大不是n,而是1N}[4]泊松分布（Poisson）如果随机变量X的概率分布为：{}!kPXkek01kn、……则称随机变量X服从参数为的泊松分布，简记为~()XP.[5]总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关系最为密切：1)参数为p的0-1分布，就是参数为n、p的二项分布(,)Bnp当n=1时的特例；(5)常用连续型随机变量的分布函数[1]均匀分布：若连续型随机变量X的概率密度为：1()0axbfxba其他则称X服从区间[,]ab上的均匀分布，其分布函数为：0()1xaxaFxaxbbaxb在[,]ab上服从均匀分布的随机变量X在[,]ab内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在[,]ab内的位置无关。即：若[,][,]cdab，则：{}dcPcXdba[2]指数分布：如果连续型随机变量的概率密度为：0()00xxefxx则称X服从参数为的指数分布，其中0，相应的分布函数为：01()00xxeFxx①指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。②指数分布具有无记忆性。[3]正态分布：A.正态分布的概率密度为：22()21()2xfxe(.)x其中和均为常数，且0，简记为：2~(,)XNB.特别地，当0、1时，称X服从标准正态分布，记作~(0,1)XN，其概率密度为：221()2xxe其分布函数用()x表示。C.标准正态分布~(0,1)XN的分布函数()x与概率密度()x的性质。a)()()xx即()x是一个偶函数。b)lim()0xx即x轴是()x的水平渐近线。c)分布函数()()xFx；概率密度1()()xfx。d)若~(0,1)XN，当C0时，{}2()1PXcc若随机变量X服从正态分布2~(,)XN，则x服从标准正态分布~(0,1)xN，且~(0,1)xN如果2~(,)XN，当0a时，aXb服从正态分布22(,)Naba。特别地，如果a=1,则2~(,)XbNb。如果2111~(,)XN,2222~(,)XN,且1X、2X相互独立，则2222112211221122~(,)aXaXNaaaa(6)随机变量的函数分布的求法设X是一个随机变量，()ygx是一个实函数，则()YgX也是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知X的分布及函数()ygx，求随机变量()YgX的概率分布或者概率密度乃至分布函数。[1]离散型随机变量的函数分布的求法如果随机变量的函数()YgX是离散型（无论X是不是离散型的）的，求Y的分布只要逐点分析出Y的全部可能取值及取各可能值的相应概率即可。[2]连续型函数的分布的求法1.分布函数法：如果随机变量的函数()YgX是连续型的，最基本的方法是分布函数法，即先求出Y的分布函数()()(())()YgxyFyPgxyfxdx，然后通过分布函数求出Y的概率密度，其中()fx是随机变量X的概率密度。2.公式法如果X是连续型的随机变量，()ygx是x的单调可到函数，其导数不为0，则Y的概率密度()Yfy可直接由X的密度()Xfy求出：()[()]()0XYhyfhyfy()yZg其他其中()xhy是函数()ygx的反函数，()Zg是()ygx的值域。3.方法总结：确定分布中位置参数的解题方法是建立所求参数为未知量的方程或者方程组，从中解出所求参数，建立分布中未知参数方程的主要方法有：1)分布函数()Fx性质、离散型分布律{}ip性质、连续型概率密度()fx性质。2)()0F、()1F、()()FxFx。3)在()Fx的连续点，(0)()(0)FxFxFx4)11niip、01ip。5)()1fxdx、()0fx。6)特殊分布函数。