3.1.1--方程的根与函数的零点(1)

第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法今天我们来学习方程的根与函数的零点！1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.(易错点）3.会求函数的零点.（重点）探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0.....xyO－132112543y=x2-2x+3函数的图象与x轴的交点.....yx－12112Oxy－132112－1－2－3－4....0.方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根函数y=ax²+bx+c(a＞0)的图象判别式Δ=b2－4acΔ＞0Δ=0Δ＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2一般结论一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数零点的定义：注意：零点不是一个点零点指的是一个实数方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点方程的根是函数的图象与轴的交点的横坐标.()0fx()yfxx结论由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是求函数y=f(x)的零点.对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.()0fx函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标.零点是对于函数而言，根是对于方程而言．例1函数f(x)=x(x－4)的零点为（）A．(0，0)，(2，0)B．0C．(4，0)，(0，0)，D．4，0D由x(x－4)=0得x=0或x=4.注意：函数的零点是实数，而不是点.探究：如何求函数的零点？哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？（1）（2）如何求函数的零点？观察二次函数2()23fxxx的图象，如图，我们发现函数2()23fxxx在区间2,1上有零点.计算(2)f与(1)f的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2,4上是否也具有这种特点呢？1234512345xyO-1-2-1-4-3-2观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（填“＜”或“＞”）．x=－1－45x=31234512345xyO-2-1-4-3-2-1xyOabcd思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数在区间上存在零点？()yfx,ad有有有①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零点；②在区间(b,c)上,f(b)·f(c)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)零点；有xyOabc【提升总结】如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。例2判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）解：（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）abOxy如图,函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的.（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）abOxy可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。如图,（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）abOxy虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.如图,若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值()A.大于0B.小于0C.无法判断D.等于0C【变式练习】由表可知f(2)0，f(3)0，由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象；例3.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.解：-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972方法一f(x)=lnx+2x－6从而f(2)·f(3)0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．108642-2-4512346xyOy=－2x+6y=lnx6Ox1234y即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.方法二：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.【提升总结】求方程2-x=x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．解：求方程的根的个数，即求方程的根的个数，即判断函数与的图象交点个数.由图可知只有一个解.2xx1()2xxyx1()2xyy=x1Ox1234y1()2xy【变式练习】估算f(x)在各整数处的取值的正负：1()()2xfxx令由上表可知，方程的根所在区间为0,1.－+＋＋222101.()(,)fxaxxa若函数在内恰有一个零点，则的取值范围是11.()fxxx函数零点的个数是B1.aＡ.０Ｂ.１Ｃ.２Ｄ.无数个D01.aA1.aC11.a（）ＣＢ（）3.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间内有零点（)A.(-2，-1)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)B4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】∵f(x)=2x+3x,∴f(-1)=-＜0,f(0)=1＞0.52B()()()0(),()连续，，则函数在内存在唯一零点单调，fxfafbfxabfx()(),()()0连续，则函数在内存在零点，fxfxabfafb方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.x零点的求法代数法、图象法如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了。