索洛模型

1索洛模型经济增长理论之270法则如果任意变量每年以g%的速度增长，则该变量值翻倍时间大约是70/g年。年。和时，和1470%5%1%/7.0/2log2**000*tgggteyyeyygtgtt3预备知识：技术进步的类型Y=F(K,AL)（哈罗德型，资本增进型）Y=F(AK,L)（索洛型，劳动增进型）Y=AF(K,L)（希克斯型，同等密集型）4新古典经济增长模型的提出由美国经济学家R·Solow(索洛)和T·Swan(斯旺)提出,即Solow-SwanModelSolow模型就是要通过改变资本-产量比来考虑技术进步对经济增长的作用。5索洛模型（一）模型的基本假定（二）模型的动态学（三）参数变化的影响（四）收敛问题（五）模型的主要结论6（一）模型的基本假定1.关于生产函数的假定产量取决于三个变量：资本、劳动、知识；A和L以相乘形式影响Y：劳动力：知识水平；：资本存量；tLtAtKtLtAtKFtY,7（一）模型的基本假定规模报酬不变这意味着：a经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）；b其他因素，如自然资源等不重要。0cLKcFcLcKF,,8（一）模型的基本假定根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集形式：其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL·f(k)资本量。为单位有效劳动的平均产量；为单位有效劳动的平均kykfyALKFALALKF,11,9（一）模型的基本假定进一步假设：0limlim)(000kfkfInadakfkfkk条件：满足稻田边际报酬递减保证经济增长路径不发散10（一）模型的基本假定kf(k)11注释：新古典生产函数第一，每种投入的边际产品为正且递减。第二，规模报酬不变。第三，稻田条件：00limlimlimlim0KLKLKLKLFFFF满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因此，索洛增长模型又被称为新古典增长模型。12（一）模型的基本假定2.关于投入品的假设资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、知识以不变速度（外生）增长：gtnteAtAeLtLtgAtAtnLtL00则可得到：13投入品的指数增长：假设时间t是连续的（非离散的）（1）劳动力的增长：（2）知识的增长：其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度ntLdttdLtLtL)(/]/)([)(/)(gtAdttdAtAtA)(/]/)([)(/)(（一）模型的基本假定14劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增长，其增长率为：ngtLtLtAtAtLtAtLtAtLtAtLtAdttLtAd)()()()()()()()()()()()()()(（一）模型的基本假定15（一）模型的基本假定3.资本的增长（投资）：：折旧率（外生）。：储蓄率（外生）；stKtsYtK16索洛模型下的经济体特征：经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A是生产的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时刻都处于充分就业的均衡状态，储蓄总是等于投资；生产的规模报酬不变；技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于哈罗德型（劳动密集型）；生产函数的集约形式满足新古典假设；人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，人口和知识呈指数增长。17（二）模型的动态学的动态变化tkgntksfgtkntktLtAtKtsYtAtAtLtAtKtLtLtLtAtKtLtAtKtAtLtLtAtLtAtKtLtAtKdttLtAtKddtdktk2k18（二）模型的动态学索洛模型的核心公式：单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之：：单位有效劳动的平均投资：持平投资，使k保持现有水平所必需的投资tkgntksftkksftkgn19经济解释kk(t)=sf(k(t))-(n+g+)k(t)是索洛模型的基本微分方程，它表明k(t)是的方程。含义说明：人均实际投资sf(k(t))用于两个方面：一是“资本的深化”，即k(t)，二是“资本的广化”（持平投资），即（n+g+）k(t)。20（二）模型的动态学k每单位有效劳动平均投资k*ksftkgn21（二）模型的动态学k的相图k)(tkk*k与上图联系起来22稳态均衡图示因为)(gnkksf/)(k*k)(tkk*k0')(')(]/)([]/)([22kFskkkfkfsdkkkfdsdkkksfdAL23稳态定义“稳态”：一种其中各种变量都以不变速度增长的情况，即k(t)=0。当sf(k(t))(n+g+)k(t)时，k(t)0（资本存量增加）当sf(k(t))(n+g+)k(t)时，k(t)0（资本存量减少）当sf(k(t))＝(n+g+)k(t)时，k(t)＝0（实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*）24趋势定理在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资本k=k(0)，那么就有lim()*tktk25（二）模型的动态学：平衡增长路径k=k*时各变量的变动：增长；：以速率增长；：以速率等于按固定增长率增长；gnYgnALkKLA)(,26（二）模型的动态学k=k*时各变量比例的变动：增长。：以速率增长；：以速率：不变；gLKgLYKY///27证明k的增长率：)()()()()()()()()()()(gntKtKtAtAtLtLtKtKtktk28Y的增长率规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是按照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：其中是资本的边际生产力，是有效劳动的边际生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率在增长，所以：LAFKFYALKKFALFgn)()()(tKgntK)()()()()(tLtAgntLA，29Y的增长率从以上可推导：总产出的增长率也是gn30人均产出增长率人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。注意区分人均产出与人均有效劳动产出。)()()()()()()()()()()()()()()(tLtYgntLtYtLtYgntLtLtLtYtLtYtLtYdtd31平衡增长路径在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。32变量含义平衡增长速度备注证明K资本存量n+gk=K/AL绝L劳动力n对A知识或技术g量AL有效劳动n+gY总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C总消费n+gC=(1-s)Yk(K/AL)有效劳动的平均资本0K/L人均资本g相y(Y/AL)有效劳动的人均产出0y=f(k)=Y/AL对Y/L人均产出g量c(C/AL)有效劳动的人均消费0c=(1-s)f(k)C/L人均消费gK/Y资本产出比033在索洛经济中，存在惟一的一条稳态增长道路。不论经济从哪种初始资本水平启动，经济总是朝着这条稳态增长道路不断靠近。一旦在某个时刻登上这条道路，那么从这个时刻开始，经济中的有效人均资本水平、有效人均产出水平和资本的边际收益都将永远保持不变，总产出、总资本和有效劳动将以同样的增长率保持稳定增长，人均产出将与技术进步（知识）以同样的增长率保持稳定增长。34（三）参数变化的影响索洛模型中，主要参数有：政策最有可能影响的是储蓄率sgn,,,35（三）参数变化的影响1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）；2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）；3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平。分三个角度来观察：1.旧的稳态点2.新的稳态点3.由旧稳态点到新稳态点的动态调整过程361.储蓄率变化的影响方向分析kkgn)()(kfsold)(kfsnewoldknewknewynewknews37变化的路径：kk0kk0kk)(ngkksf/)(k为实际投资曲线上任一点与原点连接直线的斜率，随k增加而降低。38随时间变化的路径：kk)(ng1k2kkkfs/)(1kkfs/)(20kk当储蓄率一次性提高，k的增长速度在最开始达到最大，之后开始减少，直至到新的稳态处为0.39储蓄率增加的影响方向分析储蓄率的一个永久增加：导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平；在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响；造成Y/L增长率的暂时性增长；储蓄率的变化有水平效应（LevelEffect），但没有增长效应（GrowthEffect），在该模型中只有技术进步率有增长效应。403.储蓄率的变动——资本的黄金律水平在稳态下，消费等于：sgnskgnkfscgnkfkckgnkfc,,,*********413.储蓄率的变动——资本的黄金律水平*(,,,)*0'(*(,,,))()***'(*(,,,))()0***'(*(,,,))()0goldgoldksngcssfksngngckkfksngngsckkfksngngs，因此的符号取决于与的大小。当，，当，，423.储蓄率的变动——资本的黄金律水平tt0c储蓄率提高，消费减少（资本高于黄金律水平）433.储蓄率的变动——资本的黄金律水平tt0c储蓄率降低，消费增加（资本高于黄金律水平）443.储蓄率的变动——资本的黄金律水平tt0c储蓄率提高，消费增加（资本低于黄金律水平）453.储蓄率变动——资本的黄金律水平tt0c储蓄率降低，消费降低（资本低于黄金律水平）463.最优储蓄率——资本的黄金律水平f(k)Egcy0kδkgki=sgf(k)i=s1f(k)i=s2f(k)k2*c2*c1*k1*47（四）收敛问题绝对收敛与相对收敛48k/()/()(())()()()0(())()()()0kkksfkkngsfktngktktsfktngktkt定义的增长率当时，；当时，；49结论'()()/0kksfkfkkk经济体低于稳态越多，将会增长越快。50绝对收敛与相对收敛对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。绝对收敛：不同经济体；相对收敛：同质经济体。51绝对收敛与条件收敛资本的边际产出递减意味着有着更低人均资本的经济趋于在人均项上更快的增长。绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因此穷国趋于追上富国。条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远，增长越快。巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。52收敛不同初始的产出水平的经济体最终会达到相同的生活水平或收敛吗?新古典增长模型预言相同的储蓄、人口增长和技术水平的经济体会绝对地收敛都会达到同样收入的稳态水平不同的储蓄、人口增长率的经济体被预测会有条件收敛稳态时的收入水平将会不同，但增长率将会最终趋同53关于趋同问题趋同意味着人均资本k从初始水平过渡到稳态值，稳态值在过渡期间发挥着目标或磁铁的作用。(+)(+)(-)(-)(0)假如有两个经济体，有相同的生产函数，一个拥有更高的人均资本和实际的GDP，即两者的唯一差别是人均资本的不同。开始低人均资本的经济体的人均