10分钟精通外接球秒杀绝世秘籍

高途课堂高中数学教研产品中心第1页(共40页)高途课堂高中数学教研产品中心第2页(共40页)10分钟精通外接球秒杀绝世秘籍外接球指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上.正多面体各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球.内切球球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球.如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.一、外接球七大模型汉堡模型圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直底面的棱锥找底面外接圆半径r，找高h2224hRr斗笠模型圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥(正棱锥)找底面外接圆半径r，找高h222rhRh墙角模型三组线线垂直型三棱锥先补成长方体，再找锥，找长方体的长宽高：abc，，22224abcR麻花模型对棱长相等的三棱锥先补成长方体，再找锥，找长方体的三类面对角线：xyz，，2222=8xyzR怀表模型两全等等腰三角形折叠式棱锥找等腰三角形底边上的高H,找外接圓半径r，找二面角2222()tan2RrHr“L”模型面面垂直型棱锥找两个面外接圆半径1r，2r,找面面交线l2222124lRrr鳄鱼模型普通三棱锥找两面外接圆圆心到交线的距离m,n，找二面角，找面面交线l222222cossin4mnmnlR二、内切球万能公式(棱锥)3VRS(注：V表示棱锥的体积，S表示棱锥的表面积)高途课堂高中数学教研产品中心第3页(共40页)①圆柱②直棱柱③侧棱垂直底面秒杀公式1外接球之汉堡模型2224hRr适用几何体：圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直底面的棱锥.②和③可以通过补形转化为①，所以我们只需证明①即可证明：设P、O分别为上下底面圆的圆心，O为线段PO的中点，OPhOAr，，在RtOOA△中有222222hOAOAOOr，又因为ROA，所以2224hRr.高途课堂高中数学教研产品中心第4页(共40页)(2017•新课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．3π4C．π2D．π4由秒杀公式1得22222212=1442hRrr，解得234r，因此圆柱的体积233πππ144Vrh，故选B.(2017•新课标Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．由秒杀公式1得22222222317=4242hRr，因此球O的表面积为274π4π14π2SR.本题还可用秒杀公式4可得22222223217442abcR，因此球O的表面积为274π4π14π2SR.由此可知在选用公式的时候是比较灵活的，原因在于模型之间可以相互转化.典例例题1-1例题1-2高途课堂高中数学教研产品中心第5页(共40页)(2012•辽宁)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为23正方形．若26PA，则OAB△的面积为．由秒杀公式1得22222262=2312424hRr，解得23R，则OAB△为等边三角形，所以2323334OABS△.例题1-3高途课堂高中数学教研产品中心第6页(共40页)(2011•四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是．由秒杀公式1得222=4hRr，于是2224=2π=4π4π2π22hrhSrhrR侧，当且仅当222hrR时不等式取“=”，于是222=4π2π=2πSSRRR侧球.例题1-4高途课堂高中数学教研产品中心第7页(共40页)(2010•辽宁)已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于()A．4πB．3πC．2πD．π由秒杀公式1得2222231=1424hRr，解得1R，则球O的表面积为24π4πSR.故选A.例题1-5高途课堂高中数学教研产品中心第8页(共40页)(2008•浙江)如图，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，3DAABBC，则球O的体积等于．由秒杀公式1得22222369=4244hRr，解得32R，则球O的体积为334439πππ3322VR.例题1-6高途课堂高中数学教研产品中心第9页(共40页)①圆锥②正棱锥秒杀公式2外接球之斗笠模型222rhRh适用几何体：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥(正棱锥).②可以通过补形转化为①，所以我们只需证明①即可证明：设P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，OPhOAr，，球心O为PO上一点，于是OAOPR，在RtOOA△中有222OOOAOA222hRrR，解得222rhRh.高途课堂高中数学教研产品中心第10页(共40页)(2018•新课标Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543依题意得，当三棱锥DABC为正三棱锥且hR时，三棱锥DABC的体积最大，那么由秒杀公式2得22=42rhRh，①又因为ABC△为正三角形且面积为93，则1π33sin9323Srr，解得23r，代入①式解得2h或6h，又因为4hR，所以6h，于是max1=936=1833DABCV，故选B.例题2-1典例高途课堂高中数学教研产品中心第11页(共40页)(2014•大纲版)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A．81π4B．16πC．9πD．27π4由秒杀公式2得22222+49==2244rhRh，因此22981π=4π=4π=44SR，故选A.(2020•银川模拟)已知圆锥的母线与底面所成的角等于60，且该圆锥内接于球O，则球O与圆锥的表面积之比等于()A．4:3B．3:4C．16:9D．9:16由秒杀公式2得22=2rhRh，依题意得3hr，因此233Rr，于是2222224164ππ4π1633=ππππ23π9rrSRSrrlrrrr球锥.故选C.例题2-2例题2-3高途课堂高中数学教研产品中心第12页(共40页)(2018秋•太原期末)在三棱锥PABC中，顶点P在底面ABC的投影G是ABC△的外心，2PBBC，平面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60，则三棱锥PABC的外接球的表面积为.如图所示，作BC的中点M，在RtPMB△[1]中有223PMPBBM，依题意知60PMG[2]，在RtPGM△中有33sin60cos6022hPGPMGMPM，，于是在RtBGM△中有227=+=2rBGGMBM，由秒杀公式2可得224=23rhRh，因此264π4π9SR.[1]因为顶点P在底面ABC的投影G是ABC△的外心，所以PAPBPC.[2]因为BCPM且BCGM，所以PMG为二面角PBCA的平面角.例题2-4高途课堂高中数学教研产品中心第13页(共40页)(2020•娄底模拟)如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A．25π8B．25π4C．25π2D．9π8由秒杀公式2得22222+2252==28222rhRh，因此225225π=4π=4π=88SR，故选A.例题2-5高途课堂高中数学教研产品中心第14页(共40页)(2019秋•东莞市期末)已知球O是正四面体ABCD的外接球，2BC，点E在线段BD上，且3BDBE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是()A．8π9B．11π18C．5π12D．4π9依题意易知233r，263h，由秒杀公式2得22222326+336==222623rhRh，如图所示，在OBD△中，由余弦定理可得2226cos23OBBDODOBDOBBD，那么在OBE△中，由余弦定理可得222112cos18OEOBBEOBBEOBD，当截面圆垂直OE时面积最小，故截面圆的最小半径为22223rROE，因此截面圆面积的最小值为288πππ99Sr.故选A.例题2-6高途课堂高中数学教研产品中心第15页(共40页)(学生答疑)在《九章算术》卷商功中称正四棱锥为“方锥”.现有一“方锥”的体积为83，若该“方锥”的五个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为A．18πB．27πC．36πD．75π由秒杀公式2得22=2rhRh，依题意得211=28333VShrh底，即2123rh，因此222322123636333=32244442hrhhhhhhRhhhh，当且仅当“263=4hh”，即“23h”时不等式取“=”，因此2minmin27=4π4π27π4SR，故选B.例题2-7高途课堂高中数学教研产品中心第16页(共40页)秒杀公式3外接球之墙角模型22224abcR适用几何体：三组线线垂直型三棱锥.证明：在三棱锥PABC中，ABACAP、、两两垂直，=ABa，ACb，APc，将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线PQ即为外接球的直径，于是222222PQQAAPABACAP，所以22222Rabc，即2222=.4abcR高途课堂高中数学教研产品中心第17页(共40页)(2019•新课标Ⅰ)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC△是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，90CEF，则球O的体积为()A．86πB．46πC．26πD．6π依题意得三棱锥PABC为正三棱锥，CEEF，因为//EFPB，所以PBCE，由正三棱锥性质可得PBCA[1]，又因为CE面PAC，CA面PAC，=CECAC，因此PB面PAC，因此PAPBPC，，两两垂直[2]，由秒杀公式3得22222222+2+23===442abcR，于是33446=π=π=6π332VR，故选D.[1]设G为AC的中点，P点在底面ABC的投影为1O，因为三棱锥PABC为正三棱锥，所以1O为ABC△的外心，故1BOG，，三点共线，因为1ACPOACBG，，且11POBGO，所以AC平面PGB，又因为PB平面PGB，故PBCA.[2]PABPACPBC△△△.例题3-1典例高途课堂高中数学教研产品中心第18页(共40页)(2012•辽宁)已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．由秒杀公式3可得2222222344PAPBPCabcR，由正三棱锥性质可得PAPBPC，解得2PAPBPC，则球心到截面ABC的距离为2222223333OHOAHA.(2008•福建)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．由秒杀公式3可得22222223339444abcR，故294π4π9π4SR.例题3-2例题3-3高途课堂高中数学教研产品中心第19页(共40页)(2020•山东学业考试)在三棱锥PABC中，PA