第六章换面法

第六章换面法一、问题的提出★如何求一般位置直线的实长？★如何求一般位置平面的真实大小？换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。解决方法：更换投影面。VHXABa'b'ab老投影体系V/H新投影面V1新投影体系V1/HX1新轴老轴a1'b1'新投影被替换的投影被保留的投影被保留的投影面被替换的投影面VHABabab二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。平行于新的投影面垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1VHAaaaxX⒈更换一次投影面旧投影体系X—VH新投影体系P1HX1—A点的两个投影：a，aA点的两个投影：a，a1⑴新投影体系的建立三、点的投影变换规律X1P1a1ax1VHXP1HX1aaa1axax1.ax1VHXP1HX1aaa1VHAaaxXX1P1a1ax1⑵新旧投影之间的关系aa1X1a1ax1=aax点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。axa一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。.XVHaaax更换H面⑶求新投影的作图方法VHXP1HX1由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aaX1P1Ha1axax1ax1更换V面●a1作图规律：..⒉更换两次投影面先把V面换成平面P1，P1H，得到中间新投影体系:P1HX1—再把H面换成平面P2，P2P1，得到新投影体系:X2—P1P2⑴新投影体系的建立按次序更换AaVHaaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a2ax2aaXVH⑵求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2作图规律a2a1X2轴a2ax2=aax1a1axax1..VHABabab四、换面法的六个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空间分析：换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。ababXVH新投影轴的位置？a1●b1●与ab平行。.2将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABa'b'abH1a1'b1'a1b1XVHaba'b'一般位置直线变换为垂直线a1●b1●VHaaXBbbA3.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：ababXVHX1H1P1作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2b2ax2a2b2.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；例1已知等腰三角形ABC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影。a'b'XVHcabb1'c1'a1'c'ee1´功用：可求解平面与投影面的倾角，点与平面的距离，两平行面间的距离等。4.把一般位置平面变换成投影面垂直面问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？abcabcdVHABCDXd如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1d1空间分析：在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！αabcacbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HP1X1作图过程：★在平面内取一条水平线AD。dd★将AD变换成新投影面的垂直线。d1●a1d1●c1●反映平面对哪个投影面的夹角？.5.将投影面的垂直面变成投影面的平行面功用：一次换面后可求解平面实形、形心、两直线交角等问题的关键：新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影。Vb'a'c'HV1ABCbaa1'c1'b1'X1c展开图a1b1●需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。6.把一般位置平面变换成投影面平行面abacbXVHc作图：AB是水平线空间分析：a2●c2●b2●c1●X2轴的位置？平面的实形.X1HP1.与其平行例3已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。XVHedcd'e'c'a'b'a1b1c1e1d1ba1、求直线实长和与投影面的倾角将直线变换成投影面的平行线。2、求平面实形和形心将平面变换成投影面的平行面。3、求平面与投影面的倾角将平面变换成投影面的垂直面。4、求距离（1）点与直线之间a将直线变换成投影面垂直线。b将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。五、换面法的应用（2）点与平面之间将平面变换成投影面垂直面。（3）两平行线之间将两直线变换成投影面垂直线。（4）两平行平面之间将两平面变换成投影面垂直面。5、求夹角（1）两直线之间将两直线组成的平面变换成投影面平行面。（2）两平面之间将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。b1距离dd1X1HP1X2P1P2c2d例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。ccbaabXVH如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。APBDCcabd作图:求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1a1a2b2d2过c1作线平行于x2轴。...如何确定d1点的位置？baabcd●c例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MN●m●d●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径=MN●n●m当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：请注意各点的投影如何返回？求m点是难点。..空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例3:过C点作直线CD与AB相交成60º角。dX1HP1X1P1P2abacbXVHc作图：c2●●●c1●a1b1●a2●d2●d●b2●几个解？两个解！已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D点的投影如何返回？..cdbadacb●d1●c1●a1●d2●b1c2●●a2≡b2θVHXθ例4：求平面ABC和ABD的两面角。空间及投影分析：由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。..小结本章主要介绍了投影变换的一种常用方法——换面法。一、换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。二、换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。换面法的四个基本问题：2.把一般位置直线变成投影面垂直线1.把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线四、解题时一般要注意下面几个问题：⒈分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。⒉根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。⒊在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。