几何发展史全解

几何发展史组长：杨锦波高一13班组员：李晓、梁荣华、徐丽敏、林伟文、梁博文、郭碧云指导老师：李朗庭英语摘要Asamiddleschoolstudent,haslearnedagoodfewyearsofthegeometry.However,wegeometricunderstandingofthehistoricalstatusHavegreatdeficiencies.WedonotknowitscivilizationWhatisthesignificance,Idonotknowwhyweshouldlearnfromthisclass(otherThatistothecollegeentranceexamination!),Letuslookintoitshistory!However,therearereallysomemassiveobject,`Therefore,weonlyresearchpapersoftheguidelines1、问题提出：作为一名中学生，已经学了好几年几何了。可是，我们对几何的历史地位的认识有很大的不足。我们不知道它对文明的意义是什么，不知道为什么要学习这门课（别说是为了高考！）那么，就让我们来研究一下它的历史吧！然而对象确实有些庞大，`因此我们的研究论文只是指引性的。2、研究目的：（三个有助于）（1）有助于对几何的总体的结构认识（2）有助于认清几何学在人类文明中的地位（3）有助于文、理科方法的综合（历史和数学）3、研究方法：（1）搜集资料，阅读文献，记下心得；（2）各组员按上述要求研究，最后由组长汇总；（3）认真分析总结，写成论文.4、正文几何史研究杨锦波以下的这篇文章，将简要地介绍几何的成长过程，最后作出总结，其中包括研究结论和问题。在阅读前，最好先看附录。1欧几里得的乐园古希腊，一个民主的国度。在那片土地上，孕育出了理性和智慧的果实。柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。由极少数的几条公理出发，演绎出整个的几何体系，成为万世师表。之后，古希腊又出现了一位伟大的数学家——阿基米德。阿基米德在西元前287年生於西西里岛的西那库斯,他在亚力山大城求学.他治学的态度是从一些简单的公理出发,再用无懈可击的逻辑导出其他的定理,把物理及数学联合起来一起叙述,他算是第一人,因此我们也可以称他为物理学之父,他是第一个有科学精神的工程师,他找一般性的原理,然后用到特殊的工程问题上.他最重要的贡献是将穷尽法发扬光大,它已经将等於这个观念跨向任意趋近於的观念,而这已经跨进近代微积分的领域,他曾用穷尽法算π的近似值,得到:3.1408π3.142858阿基米德创立了流体静力学(浮力原理是最重要的结果),同时发现的杠杆原理,所以可以把他视为一个工艺学家(美劳专家).阿基米德的去世,可代表著希腊数学开始衰退的起点,我们到后面会专门讨论衰败的原因.阿基米德著作的一个缺点是内容非常难懂,不具可读性的特性,所以未能像Element这本书流传这样广.顺便一提的是,在1906年时在土耳其,发现了一本当年阿基米德的著作TheMethod,在当时引起一阵轰动.其实，推动几何学发展的数学家，学者，还有许多。如阿波罗尼阿斯、托勒密、帕布斯等等。后来，由于罗马人、基督教的兴起、回教徒征服，古希腊的几何学衰退了。直到文艺复兴时期才得以再次发扬光大。到这里为止，欧几里得几何学建立了。她是直观清晰和严谨逻辑的完美结合，代表着人类对空间的一个时代的认识。世界是有序的，平直的，而这种时空观在上世纪才被打破。2．美梦该醒了费马、笛卡儿创立了解析几何，以及画法几何的创始人蒙日的学生彭赛列创立射影几何。关于平直空间的几何理论日臻完善。无数人仰望着欧几里得的乐园。但是，风雨前总是平静的。门，就是第五公设。一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。虽然如此，但人们认为，新几何与我们的现实世界里的空间毫不相干，直到那个时候……20世纪初，爱因思坦在解决狭义相对论与牛顿万有引力定律的矛盾时，提出了一种新思想。这就是认为，我们生活在其中的现实空间，由于物质具有质量而被弯曲。非欧几何中的黎曼几何正是描述它的良好工具。后来，这种思想发展为一个完备的理论——广义相对论。由此又可以引出“宇宙大爆炸”模型，彻底改变了我们对时空、宇宙的观念。霍金说：“世界在上世纪的变化超过了以往任何世纪。原因不是新的经济或政治教义，却是由于基础科学的进步引发技术的巨大发展。还有谁比爱因斯坦更能代表呢？”就是这样，那欧几里得的乐园的美梦被打破，但醒来之后就获得了累累硕果。3．今天“幾何的發展從一開始只能掌握正規的圖形,到牛頓時代藉由微積分開始去瞭解彎曲的情形,接著高斯與黎曼的時代建立了內在幾何的觀點,最後由愛因斯坦集其大成,提出相對論理論,使人類更進一步瞭解自己所生存的時空.”以上这段文字概括了1、2的内容。那么，今天的几何学的研究是些什么呢？客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。还有拓扑学、微分几何等，这些几何分支的纯学术研究和应用，构成了当代几何的内容。有关时空观念，人们对其又有了新的理解。4．接下来，我们要进行讨论，主要包括2点：几何学的发展模式空间、时间观念的更新从以上的文段中，我们可以知道，整个几何学的历史，大致分为4个时期：1、欧几里得几何2、解析几何、画法几何、射影几何（2、3间相对独立的有微分几何、拓扑学，后来成为重要一支）3、非欧几何（罗巴切夫斯基几何、黎曼几何）、分形几何4、现代的几何研究几何学在“公理化”时期后进入4。在那段时期，数学上有3个派别：逻辑主义、直觉主义、形式主义。我们经研究后发现，数学这门逻辑性极强的学科，竟是如此地背离逻辑地发展。粗略来说，在不同阶段，三者发挥的作用各不相同。对于基础建立不牢，逻辑化最重要；对于构造性证明，飞跃式发展而言，直觉最重要；对于发挥符号作用，发展数学语言，形式化最重要。人类一直以来都是认为空间是一个物质运动的舞台，而时间则是像一条河，无止休地流逝。几何学的对象由直的到曲的，后来竟然连背景也是曲的。广相更是让我们改变观念。现今，对时空的理解还是新鲜的问题。这篇论文到这已经算完了，但还是不足以囊括几何史这个庞大的对象，只能算是从高中生的角度出发的导引性文章。教师评语：关于几何发展史的认识，相当部分同学都只是循教材编辑设置有些了解。现通过网络和阅读文献等手段，主动参与和博览，对几何的总体结构有了较清晰的体会，培养了学生自主探究的科学态度和钻研精神。有助于文理科方法的互补整合提高，也为同学学好文化科，用发展的观点看知识的发展更新，符合科学