20届 湖北省高三（5月）调研模拟考试 （理 数）

书书书２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷２０２０．４本试卷共５页，２３题（含选考题）。全卷满分１５０分。考试用时１２０分钟。★祝考试顺利★注意事项：１．考试过程中，请考生自觉遵守考试纪律等相关规定，诚信应考，不得有作弊、泄露试题等行为。请家长做好监考工作。２．请确保网络环境、考试环境良好，备好答题所用的白纸和笔。３．登录好分数ＡＰＰ，点击“作业测试”，进入对应考试科目。“试卷”将根据考试时间准时显示。开考后，考生首先在白纸上手写答题。答题结束后，点击“填写答题卡”，进入到“在线答题卡”。将事先准备好的答案，填写至在线答题卡上（选择题、多选题及判断题，直接在“在线答题卡”上勾选答案；主观题按照要求将手写的答案竖向拍照，并分别上传），然后点击“提交答题卡”完成提交。答题卡上传提交后考试时间范围内还能继续提交覆盖，为了避免大家都在考试最后快结束的时间上传造成拥堵，建议提前上传。备注：主观题要确保答案及照片清晰、干净、完整；为留取拍照时间，考试将延长１０分钟。４．此次全省联考是检测复课前线上备考成效的一次重要考试，有利于调整和优化复课后备考策略，请考生和家长高度重视。考试结束后，考试组织方将为所有考生免费提供《考试成绩和学情分析报告》。请考生或家长及时扫描右方二维码，关注“育路通”微信公众号。依次点击“高考测评—查看报告”，即可免费查询。一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知实数集Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜５｝，集合Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝１ｘ槡－２｝，则Ａ∩（瓓ＲＢ）＝Ａ．｛ｘ｜－１＜ｘ≤２｝Ｂ．｛ｘ｜ｘ＞－１｝Ｃ．｛ｘ｜－１＜ｘ≤０｝Ｄ．｛ｘ｜０≤ｘ＜５｝２．已知ｚ∈Ｃ，若｜ｚ｜－珋ｚ＝１＋２ｉ，则Ｚ＝Ａ．３２－２ｉＢ．３２＋２ｉＣ．－３２－２ｉＤ．－３２＋２ｉ３．若（１－２ｘ）２０２０＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ２０２０ｘ２０２０，则ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ２０２０＝Ａ．０Ｂ．１Ｃ．－１Ｄ．２２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷　第１页（共５页）４．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（ｇｕǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中１１５．１４６寸表示１１５寸１４６分（１寸＝１０分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）１３５１２５５６１１５．１４６１０５．２４６９５．３２６８５．４２６７５．５６６．５５６５５．６４６４５．７３６３５．８２６２５．９１６１６．０已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为１３０．０寸，夏至晷影长为１４．８寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为Ａ．９１．６寸Ｂ．８２．０寸Ｃ．８１．４寸Ｄ．７２．４寸５．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＋１，ｘ∈［－π２，π２］的图象大致为６．已知ｘ＝２０．１，ｙ＝ｌｏｇ５２，ｚ＝ｅ－０．５，则Ａ．ｙ＜ｘ＜ｚＢ．ｚ＜ｙ＜ｘＣ．ｚ＜ｘ＜ｙＤ．ｙ＜ｚ＜ｘ７．设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，前ｎ项和为Ｓｎ，则“｜ｑ｜＝１”是“Ｓ６＝３Ｓ２”的Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件８．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＤＥ＝１２ＥＣ，Ｆ为ＢＣ的中点，Ｇ为ＥＦ上的一点，且→ＡＧ＝７９→ＡＢ＋→ｍＡＤ，则实数ｍ的值为Ａ．２３Ｂ．１３Ｃ．－１３Ｄ．－２３２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷　第２页（共５页）９．已知函数ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋ａｘ，ｘ≤１３ａｘ－７，ｘ{＞１，若存在ｘ１，ｘ２∈Ｒ，且ｘ１≠ｘ２，使得ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）成立，则实数ａ的取值范围是Ａ．（－２，２）Ｂ．（－２，２］Ｃ．（－∞，３）Ｄ．（－∞，３］１０．已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过Ｆ１的直线与Ｃ的两条渐近线分别交于Ａ、Ｂ两点，若以Ｆ１Ｆ２为直径的圆过点Ｂ，且Ａ为Ｆ１Ｂ的中点，则Ｃ的离心率为槡槡槡Ａ．３＋１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．２１１．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为２ｍ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点Ｐ出发，绕圆锥表面爬行一周后回到Ｐ点，蚂蚁爬行的最短路径为槡２３ｍ，则圆锥的底面圆半径为Ａ．２３ｍＢ．１ｍＣ．４３ｍＤ．３２ｍ１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ（ωｘ－２π３）（ω＞０），ｘ１，ｘ２，ｘ３∈［０，π］，且ｘ∈［０，π］都有ｆ（ｘ１）≤ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ２），满足ｆ（ｘ３）＝０的实数ｘ３有且只有３个．则下述四个结论：①满足题目条件的实数ｘ１有且只有一个；　②满足题目条件的实数ｘ２有且只有一个；③ｆ（ｘ）在上（０，π１０）单调递增；　④ω的取值范围是［１３６，１９６）．其中正确结论的编号是Ａ．①④Ｂ．①③④Ｃ．②③Ｄ．①②③二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．设曲线ｙ＝ｅｘ＋１上点Ｐ处的切线平行于直线ｘ－ｙ－１＝０，则点Ｐ的坐标是．１４．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．２０１９年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为ｍ，１３，ｎ，已知这三个社团他都能进入得概率为１２４，至少进入一个社团的概率为３４，则ｍ＋ｎ＝．１５．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有８辆载重为６ｔ的Ａ型卡车，６辆载重为１０ｔ的Ｂ型卡车，１０名驾驶员，要求此运输队每天至少运送２４０ｔ物资．已知每辆卡车每天往返的次数为Ａ型卡车５次，Ｂ型卡车４次，每辆卡车每天往返的成本Ａ型卡车１２００元，Ｂ型卡车１８００元，则每天派出运输队所花的成本最低为．２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷　第３页（共５页）１６．已知椭圆ｘ２２＋ｙ２＝１的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，Ｍ为椭圆上异于长轴端点的动点，△ＭＦ１Ｆ２的内心为Ｉ，则→ＭＩ·ＭＦ→２｜ＭＦ→２｜＝．三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第１７题～第２１题为必考题，每个试题考生都必须作答．第２２题～第２３题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共６０分．１７．（本小题满分１２分）在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边为ａ、ｂ、ｃ，且满足ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ２Ｂ＝２ｓｉｎ（π３＋Ａ）ｓｉｎ（π３－Ａ）．（１）求角Ｂ的值；（２）若ｂ槡＝３≤ａ，求ａ－１２ｃ的取值范围．１８．（本小题满分１２分）如图，在四棱锥Ｓ－ＡＢＣＤ中，侧面ＳＣＤ为钝角三角形且垂直于底面ＡＢＣＤ，ＣＤ＝ＳＤ，点Ｍ是ＳＡ的中点，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ＝１２ＢＣ．（１）求证：ＢＤ⊥平面ＳＣＤ；（２）若直线ＳＤ与底面ＡＢＣＤ所成的角为６０°，求平面ＭＢＤ与平面ＳＢＣ所成的锐二面角的余弦值．１９．（本小题满分１２分）线段ＡＢ为圆Ｍ：ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－１０ｙ＋６＝０的一条直径，其端点Ａ，Ｂ在抛物线Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）上，且Ａ，Ｂ两点到抛物线Ｃ焦点的距离之和为１１．（１）求抛物线Ｃ的方程及直径ＡＢ所在的直线方程；（２）过Ｍ点的直线ｌ交抛物线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，!物线Ｃ在Ｐ，Ｑ处的切线相交于Ｎ点，求△ＰＱＮ面积的取值范围．２０．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋πｃｏｓｘ．（１）求函数ｆ（ｘ）的最小值；（２）若函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ａ在（０，＋∞）上有两个零点ｘ１，ｘ２，且ｘ１＜ｘ２求证：ｘ１＋ｘ２＜π．２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷　第４页（共５页）２１．（本小题满分１２分）２０２０年春节期间爆发的新型冠状病毒（２０１９－ｎＣｏＶ），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒。某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有ｎ份血液样本，有以下两种检验方式：（ａ）逐份检验，则需要检验ｎ次；（ｂ）混合检验，将其中ｋ（ｋ∈Ｎ且ｋ≥２）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这ｋ份的血液全为阴性，因而这ｋ份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这ｋ份血液究竟哪几份为阳性，就要对这这ｋ份再逐份检验，此时这ｋ份血液的检验次数总共为ｋ＋１次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为ｐ（０＜ｐ＜１）．（１）假设有６份血液样本，其中只有２份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过４次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（２）现取其中ｋ（ｋ∈Ｎ且ｋ≥２）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ１，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ２．（ｉ）试运用概率统计的知识，若Ｅξ１＝Ｅξ２，试求ｐ关于ｋ的函数关系式ｐ＝ｆ（ｋ）；（ｉｉ）若ｐ＝１－ｅ－１４，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求ｋ的最大值．参考数据：ｌｎ２≈０．６９３１，ｌｎ３≈１．０９８６，ｌｎ５≈１．６０９４，ｌｎ７≈１．９４５９（二）选考题：共１０分．请考生在２２，２３题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．２２．［选修４－４：坐标系与参数方程］（１０分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１的参数方程为ｘ＝２＋２ｃｏｓθｙ＝２ｓｉｎ{θ（θ为参数），以原点为极点，ｘ轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为ρ２＝４１＋３ｓｉｎ２α．（１）求曲线Ｃ１的极坐标方程以及曲线Ｃ２的直角坐标方程；（２）若直线ｌ：ｙ＝ｋｘ与曲线Ｃ１、曲线Ｃ２在第一象限交于Ｐ，Ｑ，且｜ＯＱ｜＝｜ＰＱ｜，点Ｍ的直角坐标为（１，０），求△ＰＭＱ的面积．２３．［选修４－５：不等式选讲］（１０分）已知实数ａ，ｂ满足ａ２＋ｂ２－ａｂ＝３．（１）求ａ－ｂ的取值范围；（２）若ａｂ＞０，求证：１ａ２＋１ｂ２＋３４≥４ａｂ．２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷　第５页（共５页）