高考卷 08 普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）（附答案，完全word版）

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x，2x，，nx的标准差锥体体积公式222121[()()()]nsxxxxxxn13VSh其中x为样本平均数其中S为底面面积、h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式VSh24πSR，34π3VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．)6cos()(xxf最小正周期为5，其中0，则▲2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率▲3．),(11Rbabiaii表示为的形式，则ba=▲4．73)1(2xxxA，则集合AZ中有▲个元素5．ba,的夹角为120，1,3ab，则5ab▲6．在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率▲7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：序号分组组中值频数频率开始S0输入Gi，Fii1SS＋Gi·Fii≥5ii＋1NY输出S结束（i）睡眠时间（Gi）（人数）（Fi）1[4，5）4.560.122[5，6）5.5100.203[6，7）6.5200.404[7，8）7.5100.205[8，9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为．8．直线bxy21是曲线ln(0)yxx的一条切线，则实数b的值为▲9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0,(),,0(cCbBaA，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设pcba,,,均为非零实数，直线CPBP,分别交ABAC,于点FE,，一同学已正确算的OE的方程：01111yapxcb，请你求OF的方程：(▲)011yapx10．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910。。。。。按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为▲11．2*,,,230,yxyzRxyzxz的最小值为▲12．在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222babyax的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点0,2ca作圆的两切线互相垂直，则离心率e=▲13．若BCACAB2,2，则ABCS的最大值▲14．13)(3xaxxf对于1,1x总有0)(xf成立，则a=▲二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为552,102（1）求)tan(的值；（2）求2的值。16．（14分）在四面体ABCD中，BDADCDCB,，且E、F分别是AB、BD的中点，求证：（1）直线EF//面ACD（2）面EFC⊥面BCD17．（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。BCAFDEBCDAOPxyOAB18．（16分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数2()2()fxxxbxR的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：（1）求实数b的取值范围（2）求圆C的方程（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。19．（16分）（1）设naaa,......,21是各项均不为零的等差数列（4n），且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当4n时，求da1的数值；②求n的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数)4(nn，存在一个各项及公差都不为零的等差数列nbbb,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。20.（16分）若1212()3,()23xpxpfxfx，xR，12,pp为常数，且)()(),()()(),()(212211xfxfxfxfxfxfxf（1）求)()(1xfxf对所有实数x成立的充要条件（用21,pp表示）（2）设ba,为两实数，ba且),(,21bapp若)()(bfaf求证：)(xf在区间ba,上的单调增区间的长度和为2ab（闭区间nm,的长度定义为mn）卷221．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．A．选修4—1几何证明选讲如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：2EDEBEC．B．选修4—2矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2241xy在矩阵A=2001对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．C．选修4—4参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy中，点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值．D．选修4—5不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：33311123abcabc+≥．必做题22．记动点P是棱长为1的正方体1111-ABCDABCD的对角线1BD上一点，记11DPDB．当APC为钝角时，求的取值范围．BCEDA23．请先阅读：在等式2cos22cos1xx（xR）的两边求导，得：2(cos2)(2cos1) xx，由求导法则，得(sin2)24cos(sin) xxx，化简得等式：sin22cossinxxx．（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝0122CCCCnnnnnnxxx（xR，正整数2n≥），证明：1[(1)1]nnx＝11Cnkknkkx．（2）对于正整数3n≥，求证：（i）1(1)Cnkknkk＝0；（ii）21(1)Cnkknkk＝0；（iii）11121C11nnknkkn．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1、102、1123、14、05、76、167、6.428、ln219、11cb10、262nn11、312、2213、2214、4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15、【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力。由条件得225cos,cos105、为锐角，725sin,sin1051tan7,tan2（1）17tantan2tan()311tantan172（2）22122tan42tan211tan31()247tantan23tan(2)141tantan2173、为锐角，302232416、【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。（1）∵E、F分别是AB、BD的中点∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD又∵EF面ACD，AD面ACD∴直线EF//面ACD（2）//EFADEFBDADBDCCBCDFBDFBD为中点BDCEFEFCBCDBDBCD面面面面CFEFF17、【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则10coscosAQOABAO，故10cosOB又1010OPtan，所以10101010coscosyOAOBOPtan所求函数关系式为2010sin10(0)cos4y②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以222(10)1020200OAOBxxx所求函数关系式为2220200(010)yxxxx（2）选择函数模型①，2210coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)'coscosy令'0y得1sin2046当(0,)6时'0y，y是θ的减函数；当(,)64时'0y，y是θ的增函数；所以当6时，min120102101031032y此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处。18、【解析】：本小题考查二次函数图像于性质、圆的方程的求法。（1）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△0，解得b1且b≠0（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b令x=0，得y2+Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1）y+b=0（3）圆C必过定点（0，1），（-2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边=02+12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0所以圆C必过定点（0，1）；同理可证圆C必过定点（-2，1）。19、【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）①当n=4时,1234,,,aaaa中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。若删去2a，则2314aaa，即2111(2)(3)adaad化简得140ad，得14ad若删去3a，则2214aaa，即2111()(3)adaad化简得10ad，得11ad综上，得14ad或11ad。②当n=5时,12345,,,,aaaaa中同样不可能删去1245,,,aaaa，否则出现连续三项。若删去3a，则1524aaaa，即1111(4)()(3)aadadad化简得230d，因为0d，所以3a不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,,,,,,nnnaaaaaa中，由于不能删去首项或末项，若删去2a，则必有132nnaaaa，这与0d矛盾；同样若删去1na也有132nnaaaa，这与0d矛盾；若删去32,,naa中任意一个，则必有121n