高考卷 2007年普通高等学校全国招生统一考试 (广东卷)数学(理科) 参考答案及试题解析

2007年普通高等学校全国招生统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案及试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的。1.已知函数xxf11)(的定义域为M，)1ln()(xxg的定义域为N，则NMA.1xxB.1xxC.11xxD.【命题意图】考查函数的定义域和集合的基本运算【参考答案】C【原题解析】由解不等式1-x0求得M=(-，1)，由解不等式1+x0求得N=(-1，+)，因而MN=(-1，1)，故选C。【备考锦囊】在备考中应把握好对基本概念的理解，尤其要把握好集合的交并补等基本运算。2.若复数)2)(1(ibi是纯虚数（i是虚数单位，b是实数）则b＝A.2B.21C.21D.-2【命题意图】考查复数的运算和相关基本概念的理解【参考答案】A【原题解析】(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i，而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，那么由2-b=0且1+2b≠0得b=2，故选A。3.若函数是则)(R),(21sin)(2xfxxxfA.最小正周期为2的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为的偶函数【命题意图】考查三角变换和三角函数的性质【参考答案】D【原题解析】通过二倍角公式可将f(x)等价转化为f(x)=21cos2x，有余弦函数的性质知f(x)为最小正周期为的偶函数，选D。【备考锦囊】运用二倍角公式来降幂是常用的技巧，备考中学生应该熟练的掌握这种方法4.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是【命题意图】考查分段函数【参考答案】B【原题解析】由题意可知客车在整个过程中的路程函数S(t)的表达式为0≤t≤1S(t)=1≤t≤3/23/2≤t≤5/2对比各选项的曲线知应选D。【备考锦囊】学会在实际情景中对函数关系的理解5.已知数|an|的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5an8,则k=A.9B.8C.7D.6【参考答案】B【原题解析】a1=S1=-8，而当n≥2时，由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10，此式对于n=1也成立。要满足5ak8,只须52k-108，从而有215k9，而k为自然数。因而只能取k=8。【备考锦囊】数列是高考热点，求通项是数列的基础，很多大型的题目也是基于这种思想方法，备考中应注意。6.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含图1图2160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i6B.i7C.i8D.i9【命题意图】考查算法的基本运用【参考答案】C【原题解析】现要统计的是身高在160-180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，故流程图中空白框应是i8，当i8时就会返回进行叠加运算，当i8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A4、A5、A6、A7叠加起来送到S中输出，故选C。【备考锦囊】算法是新课标的一扇“窗口”，备考中应对其应用加以理解7.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件60806060tt分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为图3A.15B.16C.17D.18【参考答案】B【原题解析】若按原定的分配，A点余10件，B点余5件，C点却4件，D点却11件。要使调动件次最少，须考虑从最近的点调到最多的缺件到所缺处，而D却的最多，与之相邻的点C也是剩余最多的，应优先考虑由C点的余货全数补给D点，再考虑由B点的填补临近点C的不足再去填补经C补给后D点的不足，这就能使得调动件次最少。8.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)*［b*(a*b)］=b【命题意图】在新情景下考查对元素意义的理解【参考答案】A【原题解析】用b代替题目给定的运算式中的a同时用a代替题目给定的运算式中的b我们不难知道B是正确的，用b代替题目给定的运算式中的a我们又可以导出选项C的结论，而用代替题目给定的运算式中的a我们也能得到D是正确的。二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分。9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为。（答案用分数表示）【命题意图】考查概率的计算【参考答案】91【原题解析】P=6461=91【备考锦囊】复习中应加强概率基本概念的理解，重点掌握古典概率型概率的基本类型10.若同量a、b满足baba与,1的夹角为120°，则baba··＝。【命题意图】考查向量的运算【参考答案】21【原题解析】a﹒a+a﹒b=12+1×1×(-21)=21。【备考锦囊】这些是向量的基础，在备考中要做到概念清晰，灵活运用。11.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线)0(22ppxy的焦点，则该抛物线的准线方程是。【命题意图】考查抛物线与直线的关系【参考答案】x=-54【原题解析】依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y-5=0，把焦点坐标(2p，0)代入可求得焦参数p=52，从而得到准线方程x=-54。12.如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有)(nf对异面直线，则)4(f＝;)(nf＝。（答案用数字或n的解析式表示）【命题意图】考查考生对归纳猜想和递推的理解和运用图4【参考答案】2)1(nn，12，2)1)(2(nnn【原题解析】当多面体的棱数由n增加到n+1时，所确定的直线的条数将增加n+1，由递推关系f(n+1)-f(n)=n+1我们能够求出答案。从图中我们明显看出四棱锥中异面直线的对数为12对。能与棱锥每棱构成异面关系的直线的条数为2)1)(2(nn，进而得到f(n)的表达式。13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为)(33Rttytx参数，圆C的参数方程为)20(2sin2cos2，参数yx，则题C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为。【命题意图】考查参数方程与一般方程的互化，点到直线的距离【参考答案】（0，2），22【原题解析】将参数方程一般化我们得到直线的方程x+y-6=0，圆的方程x2+(y-2)2=4,从而有圆心坐标为（0，2），圆心到直线的距离d=24=22。14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(fxxxf则＝;若2)(xf，则x的取值范围是。【命题意图】考查含绝对值不等式的解法【参考答案】[-1，1]【原题解析】将函数去绝对值化为分段函数，再在各段上解不等式f(x)5取其并集。15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O的直径6AB，C为圆周上一点，3BC，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝，线段AE的长为。图5【参考答案】30，3【原题解析】由RtACB的各边的长度关系知∠CAB=30,而弦切角∠BC=∠CAB=30。那么在RtADC中∠ACD=60，故∠DAC=30。注意到OC⊥，从而有EAOC为菱形，故AE=3。16.已知△ABC顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(cCBA、、.（1）若5c，求sin∠A的值;（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.【命题意图】考查向量的坐标运算【参考答案】(1)(3,4)AB,(3,4)ACc当c=5时，(2,4)AC6161coscos,5255AACAB进而225sin1cos5AA(2)若A为钝角，则AB﹒AC=-3(c-3)+(-4)20解得c325显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[325，+）17.下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=axb;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）【命题意图】考查线性回归的应用【参考答案】(1)如下图01234567012345产量能耗(2)yxinii1=32.5+43+54+64.5=66.5x=46543=4.5y=45.4435.2=3.5nixi12=32+42+52+62=86266.544.53.566.563ˆ0.78644.58681bˆˆ3.50.74.50.35aYbX故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆9222yax＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C的方程.（2）试探安C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【命题意图】考查考查圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解【参考答案】(1)设圆心坐标为(m，n)（m0，n0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2nm=22即nm=4①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得22nm故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8(2)a=5，∴a2=25，则椭圆的方程为+=1其焦距c=925=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=54，y=512即存在异于原点的点Q(54，512)，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长。19.如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(