2015中考专项训练-一次函数及其图象

第1页2015中考专项训练一次函数及其图象1．一次函数和正比例函数概念形如函数__y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)__叫做一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，则把函数__y＝kx__叫做正比例函数．2．正比例函数y＝kx的图象过__(0，0)，(1，k)__两点的一条直线．3．正比例函数y＝kx的性质(1)当k＞0时，__y随x的增大而增大__；(2)当k＜0时，__y随x的增大而减小__．4．一次函数y＝kx＋b的图象5．一次函数y＝kx＋b的性质过__(0，b)，(－bk，0)__的一条直线．(1)__当k＞0时，y随x的增大而增大__；(2)__当k＜0时，y随x的增大而减小__．6．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的关系(1)从数的方面看，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值为0时，相应的自变量的值为方程kx＋b＝0(k≠0)的__解__，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值大于(或者小于)0，相应的自变量的值为不等式kx＋b＞0(k≠0)(或kx＋b＜0，k≠0)的__解集__．(2)从形的角度看，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点的__横坐标__就是方程kx＋b＝0(k≠0)的解．注意：不等式的解集有时可由对应的函数图象直接得出，不等式大于0的解集就是函数图象在x轴上方的部分的自变量的取值，不等式小于0的解集就是函数图象在x轴下方的部分的自变量的取值．7．二元一方程与一次函数的关系(1)a.任意一个二元一次方程都可化成y＝kx＋b的形式，即每个二元一次方程都对应一个__一次__函数，也对应一条直线；b．直线y＝kx＋b的每一个横、纵坐标均为这个二元一次方程__y－kx＝b__的解．(2)二元一次方程组与一次函数的关系a．二元一次方程组中的每个方程可看作一个一次函数解析式；b．求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数__交点__的坐标．注意：一次函数y＝kx＋b与直线y＝第2页kx＋b的联系与区别，它们的图象形状都是直线，但前者k≠0，b为任意实数，后者k，b都可以为任意实数．一个方法待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，一般是先设待求的函数关系式(其中含有未知常数)，再根据条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法．即表示如下：函数解析式y＝kx＋b选取解出满足条件的两定点（x1，y1）与（x2，y2）画出选取一次函数的图象：直线l两个区别(1)正比例函数和一次函数的区别正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数．也就是说：如果一个函数是正比例函数，那么一定是一次函数，但是，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数．(2)正比例和正比例函数的区别成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数，但正比例函数的两个量一定成正比例．1．(2014·陕西)若点A(－2，m)在正比例函数y＝－12x的图象上，则m的值是(C)A.14B．－14C．1D．－12．(2013·陕西)如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2，m)，B(n，3)，那么一定有(D)A．m0，n0B．m0，n0C．m0，n0D．m0，n03．(2013·陕西)根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为(A)x－201y3p0A.1B．－1C．3D．－34．(2012·陕西)下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是(A)A．(2.－3)，(－4，6)B．(－2，3)，(4，6)C．(－2，－3)，(4，－6)D．(2,3)，(－4，6)5．(2012·陕西)在同一平面直角坐标系中，若一次函数y＝－x＋3与y＝3x－5图象交于点M，则点M的坐标为(D)A．(－1，4)B．(－1，2)C．(2，－1)D．(2，1)待定系数法求一次函数的解析式【例1】(2014·怀化)设一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(1，3)，B(0，－2)两点，试求k，b的值．解：把A(1，3)，B(0，－2)代入y＝kx＋b得k＋b＝3，b＝－2，解得k＝5，b＝－2，即k，b的值分别为5，－2【点评】(1)k，b是一次函数y＝kx＋b的未知系数，这种先设待求函数关系式，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而得出所求结果的方法，就是待定系数法．(2)函数中常用的方法还有代入法．1．(2013·河北)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．(1)当t＝3时，求l的解析式；第3页(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．解：(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，由题意得b＞0，t≥0，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4，∴y＝－x＋4(2)当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b，解得b＝5，5＝1＋t，∴t＝4，当直线y＝－x＋b过N(4，4)时，4＝－4＋b，解得b＝8，8＝1＋t，∴t＝7，∵点M，N位于l的异侧，∴4＜t＜7(3)t＝1时，落在y轴上；t＝2时，落在x轴上一次函数与一次方程、一次不等式综合问题【例2】(1)已知一次函数y＝ax＋b(a≠0)中，x，y的部分对应值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是__x＝2__．x－101234y6420－2－4(2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2，0)，则关于x的不等式－x＋b＞0的解集是__x＜2__．【点评】进一步熟悉函数图象的作法，通过图象体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，提高识图能力．一次函数y＝kx＋b，当y＝0，则kx＋b＝0，得到一元一次方程，当y＞0，则有kx＋b＞0，得到一元一次不等式．2．(2014·毕节)如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3)，则不等式2x≥ax＋4的解集为(A)A．x≥32B．x≤3C．x≤32D．x≥3试题如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板顶点与O重合，转动三角板使两直角边第4页始终与BC，AB相交，交点分别为M，N，如果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y，则y与x的关系式是()A．y＝23xB．y＝6xC．y＝xD．y＝32x错解B剖析此题看起来有些无从下手，易估计直角三角形顶点与矩形ABCD的中心O重合时，转动三角板，与矩形重合的面积不变，即S矩形OEBF＝14×4×6(即取直角三角板的特殊情形)，则易错误地得到x·y＝6，即y＝6x.但实际上，过点O作AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，如图所示．由于∠FOM＋∠EOM＝90°，∠EON＋∠EOM＝90°，所以∠EON＝∠FOM，又∠OEN＝∠OFM＝90°，因此△OFM∽△OEN，则ONOM＝OEOF＝32，即y＝32x，此时，可看出S△OEN∶S△OFM＝(OE∶OF)2＝9∶4，所以，直角三角板与矩形ABCD重合部分面积并非定值6.此类题目不可以偏概全，用特殊位置、特殊值来考虑一般情形．正解D考点跟踪突破11一次函数及其图象一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·广州)已知正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是(C)A．y1＋y2＞0B．y1＋y2＜0C．y1－y2＞0D．y1－y2＜02．(2013·眉山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是(C)3．(2014·邵阳)已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是(A)A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．以上都不对4．(2014·汕尾)已知直线y＝kx＋b，若k＋b＝－5，kb＝6，那么该直线不经过(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第5页5．(2014·荆门)如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b＞kx－1的解集在数轴上表示正确的是(A)二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2013·广州)一次函数y＝(m＋2)x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是__m＞－2__．7．(2013·天津)若一次函数y＝kx＋1(k为常数，k≠0)的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是__k＞0__．8．(2014·徐州)函数y＝2x与y＝x＋1的图象交点坐标为__(1，2)__．9．(2013·包头)如图，已知一条直线经过点A(0，2)，点B(1，0)，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，点D，若DB＝DC，则直线CD的函数解析式为__y＝－2x－2__．10．(2014·舟山)过点(－1，7)的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线y＝－32x＋1平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是__(1，4)，(3，1)__．三、解答题(共40分)11．(10分)(2012·湘潭)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．解：∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象过点(0，2)，∴b＝2.令y＝0，则x＝－2k.∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴12×2×|－2k|＝2，即|2k|＝2，|k|＝1，∴k＝±1，故此函数的解析式为：y＝x＋2或y＝－x＋212．(10分)(2012·聊城)如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵直线AB过点A(1，0)，B(0，－2)，∴k＋b＝0，b＝－2，解得k＝2，b＝－2.∴直线AB的解析式为y＝2x－2(2)设点C的坐标为(x，y)，∵S△BOC＝2，∴12×2×x＝2，解得x＝2，∴y＝2×2－2＝2，∴点C的坐标是(2，2)13．(10分)(2014·常德)在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为x，购票总价为y)：方案一：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元；第6页方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定．(1)若购买120张票时，按方案一和方案二分别应付的购票款是多少？(2)求方案二中y与x的函数关系式；(3)至少买多少张票时选择方案一比较合算？解：(1)按方案一购120张票时，y＝8000＋50×120＝14000(元)；按方案二购120张票时，由图知y＝13200(元)(2)当0＜x≤100时，设y＝kx，则12000＝100k，∴k＝120，∴y＝120x.x≥100时，设y＝kx＋b，12000＝100k＋b，13200＝120k＋b，解得k＝60，b＝6000，∴y＝60x＋6000.综合上面所得y＝120x（0＜x≤100）60x＋6000（x＞100）(3)由(1)知，购120张票时，按方案一购票不合算．即选择方案一比较合算时，应超过120.设至少购买x张票时选择方案一比较合算，则应有8000＋50x≤60x＋6000，解得：x≥200(张)，∴至少买200张时选方案一比较合算14．(10分)在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝35.如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝10334，AC与y轴交于点E.(1)求AC所在直线的函数解析式；(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OC·tan∠OCE＝1