地下水向边界附近井的运动

地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动当井打在边界附近，或在长期抽水情况下，边界对水流有明显影响时，必须考虑边界的存在边界补给边界（供水边界）隔水边界（不透水边界）地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动§5-1镜像法原理及直线边界附近的井流一、镜像法原理把直线边界想象成一面镜子，若边界附近存在工作的真实的井（称为实井），相应地在边界的另一侧会映出一口虚构的井（称为虚井）。为了将有界井流问题化为无界井流问题，且变化后保持原问题的边界性质不变，虚井应有下列特征：（1）虚井和实井的位置对边界是对称的；（2）虚井的流量和实井相等；（3）虚井性质取决于边界性质，对于定水头补给边界，虚井性质和实井相反；如实井为抽水井，则虚井为注水井；对于隔水边界，虚井和实井性质相同，都是抽水井；（4）虚井的工作时间和实井相同；地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动边界的影响可用虚井的影响代替，把实际上有界的渗流区化为虚构的无限渗流区，把求解边界附近的单井抽水问题，化为求解无限含水层中实井和虚井同时抽（注）水问题但要求仍保持原有的其他边界条件和水流状态。利用叠加原理，可求得原问题的解。这样，利用虚井把有界含水层的解和无界含水层的解联系起来，后者有现成的解析解，因此有界含水层的求解就比较容易了。这种方法称为镜像法或映射法地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动二、直线边界附近的井流1．稳定流（1）直线补给边界附近的稳定井流：先考虑承压水井122121ln2ln2ln2)(rrTQRRTQrRQsssπππ=−+=−+=S——边界附近任一点p(x,y)的降深值s1——由实井引起的降深s2——由虚井引起的降深——研究点至实井的距离——研究点至虚井的距离221)(yaxr+−=222)(yaxr++=地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动对于潜水含水层，s不是线性函数，不能进行叠加。但是线性函数，故有地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动为了便于计算，把研究点移至抽水井井壁，则得承压水潜水地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动（2）直线隔水边界附近的稳定井流对于承压含水层对于潜水含水层地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动为了便于计算，把研究点移至抽水井井壁，承压水：潜水：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动2．非稳定流（1）直线补给边界附近的非稳定井流对承压水井式中：当抽水时间t延长到一定程度，使u1和u2均小于0.01时，则可利用Jacob近似公式，则地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动对于潜水式中,(i=1,2)；T=Khm，导水系数；hm为平均厚度。当u≤0.01时有：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动（2）直线隔水边界附近的非稳定井流：该情况下虚井是抽水井，对承压水井利用叠加原理得：随着抽水时间的延长，u1和u2都变得小于0.01以后地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动对于潜水则有地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动（3）根据非稳定流抽水试验资料求参数例观测孔位于抽水井到边界的垂直线上，若抽水井至边界的距离为a，至观测孔的距离为r，则r1＝r，r2=2a士r，则：故有：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动引进二个新的井函数：则计算隔水边界附近井流的公式变为：计算补给边界附近井流的公式变为：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动图5-3边界附近水井非稳定流抽水的标准曲线地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动不管观测孔的位置如何，只要抽水的时间足够长，都可用直线图解法求参数。当边界尚未发生影响时：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动图5-4直线边界附近的s-lgt曲线a-补给边界附近的曲线；b–隔水边界附近的曲线地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动如利用早期直线段求导水系数，则公式为：如利用晚期直线段求导水系数，则有：求贮水系数利用下式：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动§5-2扇形含水层中的井流两个会聚边界可组成扇形含水层。对扇形含水层使用镜像法时，除了要满足上面提到的一般规则以外，还要满足下列条件：（1）扇形含水层有两条边界，对于某一条边界而言，不仅映出井的像，而且映出另一条边界的像。（2）水井必须是整数，所以在扇形含水层应用镜像法时，对其夹角有一定要求，即360°必须能被扇形的夹角θ所整除。总井数为：虚井数为：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动（3）实井和虚井在平面上位置的轨迹为一个圆，圆心在扇形的顶点，半径等于从水井至扇形顶点的距离。（4）根据J.G.Ferris等人的研究，对扇形含水层应用镜像法时，其夹角和边界性质的组合还必须满足一定的条件。地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动一、象限含水层（θ角为90°）1．稳定流计算图5-5象限含水层中的镜像法（a）-两条隔水边界的情况；（b）-两条补给边界的情况；（c）-一条补给边界一条隔水边界的情况1-隔水边界；2-补给边界；3-实抽水井；4-虚抽水井；5-上注水井地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动当两边界都是隔水边界时，三口虚井都是抽水井（图5-5（a）〕，边界的影响相当于含水层中有四口井同时抽水。如果考虑抽水井的降深，则有：或地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动当两边界都是补给边界时［图5-5(b)］，井2、3为注水井，1、4为抽水井。根据叠加原理有：同理，对于潜水井有：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动2．非稳定流计算先考虑二条隔水边界的情况，对于承压含水层中任一点有：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动当时间t足够长，使ui≤0.01时，可利用Jacob近似公式得：在单对数纸上，s-1gt直线的斜率为：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动二、其他角度的扇形含水层下面仅以夹角为60°的扇形含水层为例，加以说明。图5-6夹角60°的扇形含水层中的镜像法（a）-两条隔水边界的情况（b）-两条补给边界的情况1-实抽水井；2-虚抽水井；3-虚注水井地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动1．稳定流计算当两边界都是补给边界时，应有3口抽水井、3口注水井［图5-6（b）〕对于承压含水层中任一点有：对抽水井有：对于潜水井有：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动2．非稳定流计算当两边界都是补给边界时，有：当抽水相当长时间以后，代入Jacob近似公式得：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动§5.3条形含水层中的井流两条平行的边界中间的含水层为条形含水层，应用镜像法时，因为同时要映出另一边界的像，如此重复，一共要映射无穷多次。这样，条形含水层中的一口井就变成了无限含水层中的一个无穷井排。地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动图5-7条形含水层的镜像法1-隔水边界；2-补给边界；3-实抽水井；4-虚抽水井；5-虚注水井地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动1．稳定流为一般化起见，设水井不位于含水层的中部，映出的水井分布如图5一8所示∑∑∑∑=−==−=∞→−−−++=NnnoNnnooNnnoNnnoonrRrRrRrRrRrRTQs111'1''}lnlnlnlnln{ln2limπ]}lnlnln[ln{ln21'11'1'lim∏∏∏∏=−−===∞→−+−+NnnnNnNnnnNnNrrrrrrTQπ∏∞=−−1''']ln[4222222nnnnnrrrrrrTQπ==地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动==∏∞=++−+−−++++−++−++1222222222222]])2][()2[(])2][()2[()()(ln[4nynlaxynlaxynlaxynlaxyaxyaxTQπ∏∞=−−−+−−−+−++−−−+−−+++1222222222222}]4)(1][4)(1[]4)(1][4)(1[))(())((ln{4nlniyaxlniyaxlniyaxlniyaxiyaxiyaxiyaxiyaxTQπ==地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动}]4)(1[2)(]4)(1[2)(]4)(1[2)(]4)(1[2)(ln{422222112222222222211222222lniyaxliyaxlniyaxliyaxlniyaxliyaxlniyaxliyaxTQnnnnπππππππππππππ−−−−−+−−+−−+−−+++−++∏∏∏∏∞=∞=∞=∞=}]4)(1[2)(]4)(1[2)(]4)(1[2)(]4)(1[2)(ln{422222112222222222211222222lniyaxliyaxlniyaxliyaxlniyaxliyaxlniyaxliyaxTQnnnnπππππππππππππ−−−−−+−−+−−+−−+++−++∏∏∏∏∞=∞=∞=∞=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−++−++laxiylaxiylaxiylaxiyTQ2)]([sin2)]([sin2)]([sin2)]([sinln4πππππ===地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动===⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−++−++laxiylaxiylaxiylaxiyTQ2)]([sin2)]([sin2)]([sin2)]([sinln4πππππ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−+−laxlychlaxlychTQ)(cos)(cosln4πππππ==地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动10,0,===−=chlychyraxwπ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−=lrlraTQs)2(cos1ln4ln2)2(2sin2ln422TQlrlaTQwππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=larlTQlrlawwπππππsin2ln22sinA点移到井壁，则=地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动=)sin2ln(2larlKMsQwwπππ=wwrlKMsQππ2ln2=1)2sin(,2==lllaπ若地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动式中：l——条形含水层的宽度，即两平行边界之间的垂直距离c——实井至纵轴的距离（纵轴沿边界取）地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动把A点移到抽水井的井壁上（x＝a一rw；y=0），经化简得：对于潜水含水层有：地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动当两边界均为补给边界，且a=l/2时，对于承压水有：当两平行边界均为隔水边界时lalrlalRchlRchKMsQwoowππππππ22sin)2(4]2cos][1[ln4−−=地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动2．非稳定流对于抽水井井壁的降深，上式可化简为：当两边界均为隔水边界时，有当两边界有二个或一个为补给边界时，抽水能达到稳定，可用相应的稳定流公式计算地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动式中：Tty42∗=μλ地下水动力学第五章地下水向边界附近井的运动图5.9f(λ）=ierfc(λ)函数曲线