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第五章习题解答【注】:F{}表示傅立叶变换5.9对某一特殊的[]xn,其傅立叶变化()jwXe,已知下面四个条件1、[]xn=0,0n2、[0]0x3、Im{()}sinsin2jwXeww4、21()32jwxedw求[]xn。解:由条件(1),(2)和(3)得AeejXjj2)(所以,][]2[]1[][nAnnnx代入条件4,则可得][]2[]1[][nnnnx5.12设2sinsin4[]()*()cnwnynnn式中*记为卷积,且cw。试对cw确定一个较严格的限制,以保证2sin4[]()nynn。解:}4sin{*}4sin{}]4sin{[2nnFnnFnnF2,024,240,1所以,ccnnF001}4sin{易见,c2时,满足条件5.14假设一单位脉冲响应为[]hn,频率响应为()jwHe的LTI系统S,具有下列条件:1、1()[][]4nungn,其中[]0,0,0gnnn2、/2()1jHe3、()()()jwjwHeHe求[]hn。解:]0[]1[][)(gegengeGjnjj)(4111)(jjjeHeeG)()411()(jjjeGeeHjjjegeggeg]0[41]1[41]0[]1[21)()(22jjeHeH1]0[41]1[41]0[]1[gjggjg0]1[]0[411]1[41]0[gggg可得,g[0]=16/17,g[1]=1/17所以,]2[17/1][17/16][17/117/16)(2nnnheeHjj5.16有一信号的傅立叶变化是3(/2)01()2()114kjwjwkkXee可以证明[][][]xngnqn,其中[]gn具有[]naun的形式,[]qn是周期为N的周期信号。(a)、求a的值。(b)、求N的值。(c)、[]xn是实序列吗?解:jjjjjejeejeeX418/14114/1412/14111)(则][)4(81][)41(41][)4(21][)41(][nujnunujnunxnnnn])(81)1(41)(211][[)41(nnnnjjnu因此,][)41(][nungnnnnjjnq)(81)1(41)(211][njnjnjeee2328141211由于][][Nnqnq可得,4N故(a)41(b)N=4(c)x[n]不是实序列。5.19考虑一因果稳定的LTI系统S其输入[]xn和输出[]yn通过下面二阶差分方程11[][1][2][]66ynynynxn(a)、求该系统S的频率响应()jwHe。(b)、求该系统S的频率响应[]hn。解:(a)jjjeeeH2616111)((b)由于jjjeeeH311152211153)(所以,][)31(52][)21(53][nununhnn5.21计算下列信号的傅立叶变化。(b)、1[]()[1]2nxnun(d)、[]2sin()[]4nxnnun(e)、1[]()cos((1))28nxnn(k)、sin(/5)7[]()cos()2nxnnn解:(b)njnnnnjjeenxeX)21(][)(1jjjjnjneeeee2)211/(21)21(1(d)njnnnnjjneenxeX4sin2][)(0njnnen)4sin()21(0njnjnjnnejee2)21(440njnnjnejej]21[21]21[21)4(0)4(0]21112111[21)4()4(jjeej(e)nnjjenxeX][)(njnnnjnnenen)1(8cos)21()1(8cos)21(01)8(8)8()8(8)8()8(821112211212211212jjjjjjjjeeeeeeee)8(821112jjee)(2523)(2523)8()8(8)8()8(8jjjjjjeeeeee])8cos(45)8cos(45[2388jjee(k)deXeXnxFjj)()(21]}[{)(221deXeXjj)()(21)(21其中})5sin({)(1nnFeXj)}2/7{cos()(2nFeXj其它,010721032,21)(mmeXj5.22下面是各离散时间信号的傅立叶变化,求相应于每一变化的信号。(a)、3()1,44jwXew30,,044ww(d)、22()cossin3jwXeww(f)、15()115jwjwjweXee(g)、2113()11148jwjwjwjweXeee解:(a)24043413[](sin()sin())44nxnnn(d))6cos1(21)2cos1(213sincos)(22jeX6622414141411jjjjeeee]6[41]6[41]2[41]2[41][][nnnnnnx(f)jjjjjjeeeeeeX5115151151151)(2[0]()jwxxedw(g)jjjjjjeeeeeeX411972119281411311)(2][)41(97][)21(92][nununxnn5.23.设()jwXe是如图5.23所示的[]xn信号的傅立叶变化,不经求出()jwXe完成下列计算。2006年6月8日-6-5-4-3-2-101234567-12-11图5.23(a)、求0()jXe(b)、求()jwXe。(c)、求()jwXedw(d)、求()jXe。(e)、求并画出傅立叶变化为Re{()}xw的信号。(f)、求(i)、2()jwXedw(ii)、2()jwdXedwdw解:(a)、0()[]6jnxexn(b)、有题意得:[2]xn是实偶信号,它的傅式变化为实信号,所以[]xn的相位为2w(c)、22()2[]jwndxedwjnxndw(d)、()[](1)2jnnxexn(e)、此信号为[][]2xnxn(f)、(i)、根据帕斯瓦尔定理有:22()2[]28jwnxedwxn(ii)、22()2[]316jwndxedwjnxndw5.24是判断下列各信号,其傅立叶变化有哪个满足下面每个条件:1、Re{()}0jwXe2、Im{()}0jwXe3、存在一个实数a,使得()jawjweXe为实。4、()jwXedw=05、()jwXe是周期的6、0()0jXe。(a)、[]xn如图所示图5.24a2006年6月8日-1012345611.52图5.24a(b)、[]xn如图所示图5.24b2006年6月8日-10123456-11-11图5.24b(g)、[]xn如图所示图5.24c2006年6月8日-3-2-10123456-12-11图5.24c(h)、[]xn如图所示图5.24d2006年6月8日-6-5-4-3-2-10123456-12-11图5.24d解:(a)、满足条件3、5(b)、满足条件1、3、4、5、6(g)、满足条件5、6(h)、满足条件2、3、4、55.26设1[]xn的傅立叶变化1()jwXe如图5.26a所示。2006年6月8日-pi-pi/3-pi/60pi/6pi/3pi1Re(X(jw))图5.26a2006年6月8日-pi-pi/3-pi/60pi/6pi/3pi1Im(X(jw))图5.26a(a)、考虑信号2[]xn,其傅立叶变化2()jwXe如图5.26b所示,试用1[]xn来表示2[]xn。2006年6月8日-pi-pi/3-pi/60pi/6pi/3pi1X2(jw)图5.26b(b)、3[]xn傅立叶变化3()jwXe如图5.26c所示,试用1[]xn来表示3[]xn。2006年6月8日-pi0pi1X3(jw))图5.26c(c)、设12[][]nnnxnxn,这个是信号1[]xn的重心,通常称为1[]xn的延时时间。求。(d)、考虑信号41[][]*[]xnxnhn,其中sin(/6)[]nhnn,概略画出4()jwXe。解:(a)、解:2/32/32111()Re{()()()}jwjwjwjjwjxexexexe;所以2/32/32111[]([][][])jjvxnxnxnexne;(b)、解:()()311()Im{()()}jwjwjwxexexe;所以21[]{[]}()jnjndxnOxnee;(c)、解:12[][]nnnxnaxn=1020()|6()|wjwwxjwjdwxe(d)、解:5.30c考虑单位脉冲响应为sin(/3)[]nhnn的LIT系统,求对下列各信号的输出:(i)、[]xn如图5.30c所示。2006年6月8日-808X[n]图5.30c(ii)、[][8]kxnnk。(iii)、[](1)nxn乘以图5.30c。(iv)、[][1][1]xnnn。解:(i)、2/8sin(21/2)()|sin(/2)jwwkwxew()()()jwjwjwYeXeHe;512[]()cos(/4)844ynn;(ii)、7(2/8)01[]8jknknaxne;()2(2/8)jwkkxeawk()()()jwjwjwYeXeHe=0112{()(/4)(/4)}awawaw/4/401111[]cos(/4)84jwjwynaaeaen;(iii)、/4/4011112[][]cos(/4)844jwjwynaaeaen;(iv)、sin[(/3)(1)sin[(/3)(1)[][]*[](1)(1)nnynhnxnnn5.35一因果LTI系统有如下差分方程所描述:[][1][][1]ynaynbxnxn其中a为一实数,且1a。(a)、找一个b值,使该系统的频率响应满足()1jwHe,对全部的w。(b)、粗略的画出当1/2a时(),0jwHew。(c)、粗略的画出当1/2a时(),0jwHew(d)、当12a时,系统的输入[]xn为1[]()[]2nxnun求并画出系统的输出。由这个例子可见,一个非线性相位的信号造成的影响是明显不同于一个线性相移所引起的信号的时移的。解:(a)、()()()1jwjwjwjwjwYebeHeXeae因为()jwHe
本文标题:信号与系统-奥本海姆-中文答案-chapter-5
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