第二章-LTI系统的时域分析

第二章LTI系统的时域分析法2.1LTI连续系统的经典时域分析法2.2LTI离散系统的经典时域分析法2.3LTI连续系统的单位冲激响应2.4LTI离散系统的单位序列响应2.5卷积2.6卷和LTI连续系统的数学模型是：常系数线性微分方程；LTI离散系统的数学模型是：常系数线性差分方程；时域分析法：不经变换，在时间域中直接求出系统的输响应；两种时域分析方法：经典求解法和卷积（和）分析法；数学模型Sy(t)f(t)?2.1LTI连续系统的经典时域分析法一、微分方程的经典解如果单输入一单输出系统的LTI连续系统激励为f(t)，响应为y(t)，则系统的数学模型是n阶线性常系数微分方程。nn(i)(j)iji0j0ay(t)bf(t)该方程的全解（系统的输出）由两部分组成：齐次解yh(t)非齐次特解yp(t)hpy(t)y(t)y(t)ai和bj为常数，且an=11、齐次解yh(t)(n)(n1)n110y(t)ay(t)ay(t)ay(t)0的解nn110aa0齐次微分方程的特征根：特征方程的n个根λi(i=1，2，…，n)；齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；特征方程解：特征方程为2560特征根为122,3求微分方程的齐次解，已知:()5()6()()ytytytft(0)1,(0)1hhyy齐次解一般形式为:12tt2t3th1212y(t)CeCeCeCe代入初始条件得:2t3th2y(t)4e3CeC1=4C2=-3得到齐次解:2、特解yp(t)是t0微分方程的一个解；特解的函数形式与激励函数（f(t)）的形式有关，;选定特解后，将其代入到微分方程，求出各待定系数Pi3、完全解微分方程的完全解是齐次解与特解之和。若微分方程的特征根均为单实根，则其全解为：inthpipi1y(t)y(t)y(t)Cey(t)解：（1）求齐次解齐次解一般形式：12tt2t3th1212y(t)CeCeCeCe求微分方程的全解()5()6()()ytytytft(0)1,(0)2,()20tyyftet已知：特征方程为：2560122,3(2)求特解()2()ttpfteytPe代入原微分方程562ttttPePePee1()tpPyte(3)求全解12C3,C22t3tty(t)3e2ee齐次解特解自由响应强迫响应inthpipi12t3tt12y(t)y(t)y(t)Cey(t)CeCeeinthpipi12t3tt12y(t)y(t)y(t)Cey(t)CeCee齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。但齐次解的系数Ci的值是与激励f(t)有关。特解的函数形式由激励信号f(t)确定，称为强迫响应。二、初始值的确定若输入f(t)是在t=0时刻接入，怎么确定求待定系数所需的一组初始条件？初始条件：指t=0+时刻的值，即y(j)(0+)(j=0，1，…，n–1)。t=0–时，激励尚未接入，t=0–时的值y(j)(0–)反映了系统过去的历史状况；t=0+时，激励已接入，因而y(j)(0+)则已包含输入信号的作用。要求如何由已知的初始状态y(j)(0–)，设法求得初始条件y(j)(0+)。问题解决方法初始值确定的两种情况：若给定的是具体电路，根据电路分析中的换路定律来确定t=0+初始条件；若给定的是微分方程和初始条件，根据激励信号的情况，利用微分方程两端各奇异信号相平衡的方法来判断；已知：已知系统的微分方程为：求和已知：已知系统的微分方程为：求和三、零输入响应和零状态响应LTI系统的完全响应y(t)：可分解为零输入响应与零状态响应之和。零输入响应yx(t)：激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应；零状态响应yf(t)：系统初始状态为零时，仅由输入信号f(t)所引起的响应；()()()xfytytyt微分方程式是齐次方程，yx(t)与齐次解yh(t)形式相同,是齐次解的一部分；求解的待定系数直接由给定的t=0-初始状态y(j)(0-)确定；零输入响应是齐次微分方程满足初始状态（或零输入响应初值）的解(n)(n1)n110y(t)ay(t)ay(t)ay(t)01、零输入响应yx(t)右端为零已知：已知系统的微分方程为：求零输入响应微分方程式的初始状态为零，有输入信号，是非齐次方程；零状态响应包含齐次解和特解两部分，由于要求齐次解中的待定系数，需要确定微分方程的初始条件y(j)(0+)；时域中求解零状态响应较麻烦，但对理解系统的物理概念有帮助；2、零状态响应yf(t)激励信号：已知微分方程为：求:系统的零状态响应yf(t)冲激平衡法3、总结自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同；Cxi仅由初始状态所决定；Cfi仅由输入激励f(t)所决定，Ci是由起始状态和激励共同决定。其中，2.2LTI离散系统的经典时域分析法一、差分方程的经典解差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。()()()hpykykyk00()()(1,)nmijnijaykibfkjamnn阶常系数线性差分方程1、差分方程的齐次解110()(1)(1)()0nyknayknaykaykn阶前向齐次差分方程其特征方程为：根据特征根取值的不同，有不同齐次解的形式特征根λ齐次解yh(k)实数单根Cλkr重实根Cr-1kr-1γk+Cr-2kr-2γk+…+C1kγk+C0γk一对共轭复根λ1,2=a＋jb=ρe±jβρk[Ccos(βk)+Dsin(βk)]或Aρkcos(βk-θ)Aejθ=C+jDr重共轭复根Ar-1kr-1ρkcos(βk-θr-1)+……+A0ρkcos(βk-θ0)特解与激励f(k)的形式相关，常见激励的几种形式和相应的响应形式如下表：激励f(k)特解yp(k)kmPmkm+Pm-1km-1+…+P1k+P0所有特征根不等于1kr[Pmkm+Pm-1km-1+…+P1k1+P0]r重等于1的特征根akP0aka不等于特征根P1kak+P0aka等于特征单根Prkrak+Pr-1kr-1ak-1+…+P1kak+P0aka是r重特征根Acos(βk)或Asin(βk)P1cos(βk)+P2sin(βk)所有的特征根均不等于e±jβ或Pcos(βk−θ)其中，Pejθ=P2+jP2k[P1cos(βk)+P2sin(βk)]当特征根均等于e±jβ2、差分方程的特解LTI差分方程的完全解：3、差分方程的完全解()()()hpykykyk激励信号：已知某离散时间系统的差分方程为：，y(0)=0，y(1)=2，求:系统的完全解。LTI离散系统的全响应y(k)分为：零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)。()()()xfykykyk二、零输入响应、零状态响应和全响应零输入响应yx(k)：当激励为零时完全由初始状态所引起的系统响应；零状态响应yf(k)：当初始状态为零时完全由激励f(t)所引起的系统响应。1、零输入响应yx(k)用齐次解的经典求解方法求零输入响应是齐次方程，yx(k)与yh(k)具有相同的模式描述某离散系统的差分方程为：(2)5(1)6()0ykykyk初始条件为yx(0)=2，yx(1)=3,试求其零输入响应。2、零状态响应yf(k)以下通过举例来说明经典法求解零状态响应的方法：描述某离散系统的差分方程为：已知：,试求其零状态响应。3、经典法求全响应自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同；Cxi仅由初始状态所决定；Cfi仅由输入激励f(t)所决定，Ci是由起始状态和激励共同决定。111nnnkkkiixiifiiiiiCCC其中，某离散系统的差分方程为：已知：,初始状态y(-1)=0，y(-2)=1/2，试求系统的全响应。2.3连续系统的单位冲激响应本节解决两个问题：单位冲激响应和单位阶跃响应的概念；h(t)的求取方法一、单位冲激响应h(t)1、单位冲激响应和单位阶跃响应的概念零状态系统：在激励f(t)的作用下将产生零状态响应yf(t)；如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。零状态系统f(t)(t)fy(t)h(t)f(t)=ε(t)yf(t)=g(t)注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。00y(t)ay(t)bf(t)00f(t)(t)h(t)ah(t)b(t)当时2、h(t)的求解方法此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。（1）利用阶跃响应与冲激响应的关系求解（2）利用微分方程的经典求解法求h(t)某二阶LTI系统的微分方程为：试求其单位冲激响应h(t)。注意两点：1、初始值的确定：n阶微分方程，右端只含有激励f(t)t=0+的初始值为：2、微分方程的右端由激励f(t)及其各阶导数的线性组合时：设微分方程右端仅有f(t)时的冲激响应为h0(t)2.4LTI离散系统的单位序列响应本节解决两个问题：单位序列响应和单位阶跃响应的概念；h(k)的求取方法一、单位序列响应和单位阶跃响应的概念单位序列响应h(k)：离散系统的激励信号为(k)时的零状态响应；单位阶跃响应g(k)：离散系统的激励信号为ε(k)时的零状态响应；零状态系统()fk()k=()fyk()hk=ε(k)g(k)二、h(k)的求取方法1、利用单位阶跃响应与单位序列响应的关系求h(t)ε(k)g(k)LTI性质()k()hk=▽ε(k)=▽g(k)2、利用差分方程的经典求解法求解(2)5(1)6()(2)3()ykykykfkfk求下列差分方程的单位序列响应110()(32)(1)kkorhkk1111(32)(1)3(32)(1)kkkkkk00()(2)3()hkhkhk11()6(3)2(1)kkkk注意两点：1、初始值的确定：n阶差分方程初始条件为：2、差分方程的右端由序列f(k)及其各阶导数的线性组合时：设微分方程右端仅有f(k)时的单位序列响应为h0(k)2.5卷积积分本节解决几个问题：LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分卷积的求取方法卷积的存在性卷积的性质利用卷积求yf(t)一、LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分1、卷积积分的定义（1）任意信号f(t)表示为冲激函数的积分f(t)是其自身与δ(t)的卷积积分LTI零状态系统f(t)fy(t)激励f(t)零状态响应yf(t)fffff(t)(t)y(t)h(t)f(t)A(t)y(t)Ah(t)f(t)f()(t)y(t)f()h(t)f(t)f()(t)dy(t)f()h(t)dfffff(t)(t)y(t)h(t)f(t)A(t)y(t)Ah(t)f(t)f()(t)y(t)f()h(t)f(t)f()(t)dy(t)f()h(t)d时不变性齐次性积分性fy(t)f()h(t)df(t)h(t)fy(t)f()h(t)df(t)h(t)结论：零状态响应yf(t)为激励信号与系统单位冲激响应的卷积积分(2