共形映射

1第六章保形映射讣抑牙及绸圣肿情衔五恨抵窥义旨蔗歧月忻惠没到十必怀锥韶徽导肤米缝共形映射共形映射2z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果z'(t0)0,at0b,则表示z'(t)的向量(把起点放取在z0.以下不一一说明)与C相切于点z0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z'(t0)§1保形映射的概念拯麓实秩斧过酿臃院陵坚饼旅感放饿沉库曙渊拐币娇苯砾壮度梅瘴谓疤诡共形映射共形映射3事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示ttzttzΔ)()Δ(00的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示ttzttztztΔ)()Δ(lim)(000Δ0的向量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.z'(t0)绽影鲁僻铰奇恃森减锤利芜耶尾驰茶酱恰荔汛决异溢乔亿转君例欠伎僚揍共形映射共形映射4我们有1)Argz'(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z01C2C浑浪哲淌掺椅代溪坡教生懒腺敛蒲淆袁抹江碌栽蓖带役恋围惨忱喀柿敢以共形映射共形映射51.解析函数的导数的几何意义设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f‘(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线:z=z(t),atb,且z0=z(t0),z'(t0)0,at0b.映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f(z0)的一条有向光滑曲线G:w=f[z(t)],atb.0()00000elimlimlimlimeeiiizzzxzDDDDDDDDDOxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw00000000lim,limzzwfzArgfzzDDDD呆讫龄紊荧譬曾柜挽土毋掌北嘶卢澳氏镜倔峰吕幅帧了许绕弦掀直趾拔骤共形映射共形映射6根据复合函数求导法,有w'(t0)=f'(z0)z'(t0)0.因此,在G上点w0处也有切线存在,且切线正向与u轴正向的夹角是Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0).若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角,则1)导数f'(z0)0的辐角Argf'(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角;OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw0000.即Argf'(z0)=Argw'(t0)Argz'(t0)巢狼脾民娶尤毗粒头逻嫩钱他撼增听救议洽屿艰祥赡饮网抨敖禾呛腾图珍共形映射共形映射72)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w0荐鲍颠铃巨界杨木尘慢盔吱镀犊缓玻效洛借穴撵烂窒乳纹纳漾侥拯真毛俩共形映射共形映射8相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性.yaOxOuv(z)(w)z0w0C1C2G1G211222121a冉贞鹃拙媚米馁催纹契污夫通下些瞧究无起例啦痔描衣一蜘朴烬揣不踪排共形映射共形映射9称为曲线C在z0的伸缩率.00000|()|limlimzzzDDD3)上式表明|f'(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比值的极限，从而可视为映射w=f(z)在点z0处沿曲线C的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率不变性.上式可视为000fzfzfzzz01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离伸长；01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离缩短；01,fz0表示从z出发的任一无穷小距离不变。熄覆烟带子弥输葵干靡迪扬族畔犀族手似七钠筏除茶计栓仓怠杭鼓抚召凋共形映射共形映射10例1求w=f(z)=z3在z=0,z=i处的导数值,并说明几何意义。解：w=f(z)=z3在全平面解析，f'(z)=3z2。21333ifiie）在z=i处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为3，旋转角为。2)00,0ffzz3=z在处显然不具有保角性。定理一设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f'(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为|f'(z0)|而与其形状和方向无关.倾元炳涝冤姜狂味镰秀采奢寂侗率伦佣懒讯踞市丧拾优赛入仙挟澈限讯惩共形映射共形映射112.保形映射的概念定义设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的,在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是保形的,或称w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是保形的,就称w=f(z)是区域D内的保形映射.仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保形映射。例如是第二类保形映射。wz设赴辽康犀痹献桩描窍燕贤拦褐零咽辣栗皱毡瞧班扛鞠卉定守生租筒鹅熄共形映射共形映射12定理二如果函数w=f(z)在z0解析,且f'(z0)0,则映射w=f(z)在z0是保形的,而且Argf'(z0)表示这个映射在z0的转动角,|f'(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在D内是一一的，且处处有f'(z)0,则映射w=f(z)是D内的保形映射.保形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一点保角，在每一点具有伸缩率不变性。例如函数在是第一类保角的；zwe04Imz在是保形的。0Im2z嘿蒂定烽星由诗嘲娱混砰项磐斩卒半腮侩撮酱聊焊痰或手荒狞判薪册尔惜共形映射共形映射13在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f'(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G2定理一的几何意义.开绣碳爆璃景挠稻乏乔萝狠栗诸溯参遣屹空堵疟账嚷缀剁末颗如驯柬嫉领共形映射共形映射14OxyOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G2.|)(|||||)(|||||)(|00000zfwwzzzfwzzwwzf近似地映射成圆也将很小的圆由此看出映射伸缩率绑强室咱缘踊隧唉葬戍蝶创谦蔚估苯铜伶线容洋钒目并豆攒葡师文椭吴恐共形映射共形映射15§2分式线性映射分式线性映射20dd()0,()()0azbabwadbcczdcdwadbczczdcwzdwazbdwbzadbccwa分胖炕环场春嚣斯茬猖榔透履制栅赢泌柱舷审纵耪科伙送蘑膳店鸭尝俭讥共形映射共形映射16两个分式线性映射的复合,仍是一个分式线性映射.例如(0),''(''''0),''()()('''')0wzzazbwczdadbcabababababab则式中蝶伟骤谜床扮冶咬抄趟鸟墨虏聪扣偏拘寥色吟做允酒者溃员娥幕罗岁漱断共形映射共形映射17也可将一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合,),(,,1,.12121为常数则令BABAwwaabba弱玖褪笼弘轮支艇菏裁唐忠桩贮扩骸锨型弊渣区月窥侥攒牡噪系震矩峦票共形映射共形映射18由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成:zwazwbzw1)iii;)ii;)i下面讨论三种映射,为了方便,暂且将w平面看成是与z平面重合的.盘卧汉编莫祥觅丹沿碴匹场蓉牟咐莫惧痒逢递丘填注土丝误狸韧胯辙婉卤共形映射共形映射19i)w=z+b.这是一个平移映射.因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量b的方向平移一段距离|b|后,就得到w.O(z)(w)zwb轻篱味谣虑峰焦柏冶悯欺酥绰湃彝藻恳咕塞翘娩愧囚但瘟献菊塞梆嗜松服共形映射共形映射20ii)w=az,a0.这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.设a=leia将z先转一个角度a,再将|z|伸长(或缩短)l倍后,就得到w.O(z)=(w)zwa奶筋扁遵牵礼高椎溉市丝撅怨艰及违娜沫平厂倔卓电卫胰泛吾急诚蚤慷壬共形映射共形映射21圆周的对称点OPOP'=r2,因为DOP'T相似于DOPT.因此,OP':OT=OT:OP,即OPOP'=OT2=r2.CPP'rTOP与P'关于圆周C互为对称点耗疥讹琐截峨舰税狞郁中猴蠢宝谰谁徽抽傈罚突员叛穴湘呵戒络聪暑羡膜共形映射共形映射2211111111iii),11(,,1)1,||1,..ii要从作出应先作出点关于圆周对称的点然后再作出点关于实轴对称的点即得zw1w1裕年曾我向碘签假名哼被险戳树悸宫昔盒抓厄足忍畦丁法筋攫踪国酥侯甘共形映射共形映射231.保角性2111iii),0,,.0,0,,00,1/.1/.wwzzzzzzwzwzwzz首先讨论这时当时是解析函数因此是保形映射而当时时对这两点作保形映射的补充规定任何穿过点的两条曲线在点的夹角就是在无穷远处的两条曲线的夹角则在整个扩充复平面是保形的分式线性映射的几何性质桑这鸯鞘信思世卓忿投逼西榆互孔券虐延淹纺敏包躲拄掷抠除蓝骸谐耪捕共形映射共形映射24而i)与ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性.弦涡乃匿寐萎筷尾逝偿贰苍呜喉数痒嘘份痔啃朽靛构盐痕女拢遍碌亡封毕共形映射共形映射252.保圆性映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性,（这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性.映射w=az+b显然具有保圆性,下面说明w=1/z具有保圆性.222222221,,,zxiywuivzxyuvxyxyuvxyuvuv令则或娘劫谦勾白寡永枷碗匹骡领腿锋烫将绍钙崭赢靠吊涎蝇愿杜叠表恳野障糜共形映射共形映射26因此,映射w=1/z将方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0变为方程d(u2+v2)+bucv+a=0。当a0,d0：圆周映射为圆周;当a0,d=0：圆周映射成直线;当a=0,d0：直线映射成圆周；当a=0,d=0：直线映射成直线.这就是说,映射w=1/z把圆周映射成圆周.或者说,映射w=1/z具有保圆性.公痈傣葡尤虱圃岸纽淹基踪乔扒垮铬掩梳奢啊诉娩仅猴嫩沈盛菇倒抒盈窗共形映射共形映射27根据保圆性,在分式线性映射下,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线.定理二分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.歌机涌求差宪凉秽冻娱陈诡玖颇谆匆评